A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte: Show V – A + F = 2 Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. 1º Exemplo: Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. Resolução: V – A + F = 2 6 – 10 + F = 2 –4 + F = 2 F = 4 + 2 F = 6 O sólido possui, portanto, 6 faces. 2ºExemplo: Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:  Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular. Resolução: Vértices V – A + F = 2 Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) V – 8 + 5 = 2 V = 2 + 3 V = 5 Arestas V – A + F = 2 5 – A + 5 = 2 –A = 2 – 10 –A = –8 x(–1) A = 8 Faces V – A + F = 2 5 – 8 + F = 2 –3 + F = 2 F = 2 + 3 F = 5 Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo. 3º Exemplo: O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro. Resolução: Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2 x – 22 + x = 2 2x = 2 + 22 2x = 24 x = 12 Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12. Por Marcos Noé A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão: V – A + F = 2 Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro. Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo. Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para todos eles. Poliedros convexos Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Na prática, não é necessário testar essa definição para todas as faces de um poliedro, mas apenas para aquelas que potencialmente possam classificá-lo como não convexo. Por exemplo: O poliedro abaixo é não convexo. Para ter certeza disso, desenhamos uma parte de um plano que contém uma de suas faces. É evidente, escolhemos a face problemática para percebermos isso. Já na figura abaixo, um cubo, um exemplo de um poliedro convexo. Note que ele não possui “concavidades”, ou seja, nenhuma de suas faces esta “voltada para dentro” do poliedro. Contando os elementos de um poliedro Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe: 1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo). Faces: 6 Arestas: 12 Vértices: 8 Agora, verificaremos a relação de Euler: V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2 Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica. 2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa. Faces: 5 Arestas: 8 Vértices: 5 V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2 E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa. Exemplos 1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces. V – A + F = 2 10 – A + 7 = 2 – A = 2 – 7 – 10 – A = – 15 A = 15 O sólido possui 15 arestas. 2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices. V – A + F = 2 6 – 12 + F = 2 F = 2 +12 – 6 F = 8 O número de faces desse poliedro é 8. Qual é o número de arestas de um poliedro de 6 faces é 8 vértices?Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices. Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos: V + F –2 = A ⇒ A = 8 + 6 –2 ⇒ A = 12 Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.
Qual figura geométrica tem 8 vértices é 6 faces?Conhecido também como hexaedro, o cubo é o sólido geométrico que possui todas as faces formadas por quadrados. Possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. O cubo é um poliedro de 6 lados que possui todas as faces quadradas.
Quantas arestas possui um poliedro convexo com 6 vértices é 6 faces?4 arestas partindo de cada vértice. Logo, seriam 4 arestas vezes 6 vértices = 24 arestas.
Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices?Determine o número de faces em um poliedro com 9 arestas e 6 vértices. Resposta correta: 5 faces.
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Qual o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces é 8 vértices?
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