Quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio de 20 metros use a fórmula da área da circunferência abaixo?

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Área do círculo e suas partes

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1. 1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Matemática Ensino Médio, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo Prof.: Uelder Alves Galdino
2. 2. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos INTRODUÇÃO Os estudos relacionados à Geometria são responsáveis pela análise das formas encontradas na natureza. Tais estudos formulam expressões matemáticas capazes de calcular o perímetro, a área, o volume e outras partes dos objetos. Nesta aula iremos estudar um tema muito importante da Matemática, relativo a geometria plana, a ÁREA DO CÍRCULO. Arte digital com círculos. Foto do músico jamaicano de reggae: Jimmy Cliff Fonte/Imagem: http://imagens.mdig.com.br/ps/Digital_Circlism_Ben_Heine_02.jpg Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
3. 3. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados). O CÍRCULO Fonte/Texto/Imagem: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
4. 4. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Na Matemática, um círculo ou disco circular é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. CÍRCULO e circunferência Fonte/Texto: https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo Fonte/Texto/Imagem: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
5. 5. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Elementos de um CÍRCULO O círculo possui um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro do círculo. Outro segmento importante pertencente ao círculo é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura ao lado. Fonte/Texto/Imagem: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
6. 6. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Área do CÍRCULO Vamos considerar uma situação em que temos uma circunferência e dentro dela encontra-se inscrito um polígono regular de n lados, como mostra a figura ao lado. Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
7. 7. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Os segmentos de reta que partem do centro da circunferência e que vão até o vértice do polígono regular são os raios do círculo. Assim, forma-se n triângulos, de mesma área (AT) no polígono regular. A área desse polígono regular (AP) de n lados é dada por: AP = n . AT .: AP = n . (a . h)/2 .: AP = (n . a) . h/2 Sendo o produto (n . a) o valor do perímetro do polígono regular, a = aresta do polígono, h = altura do triângulo, r = raio do círculo, portanto, a área desse polígono será: AP = (perímetro do polígono regular) x h/2 Área do CÍRCULO Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
8. 8. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Área do CÍRCULO Note que se aumentarmos o número de lados do polígono regular, a tendência é de que seu perímetro fique cada vez mais parecido com o comprimento da circunferência (2r), e que a altura de cada triângulo formado no polígono regular fique igual ao raio do círculo, figura ao lado. Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm Fonte/Imagem: http://www.prof2000.pt/users/amma/af33/trf1/geo10_p33-39_ficheiros/image006.png MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
9. 9. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Área do CÍRCULO Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados, ou seja: AC = (perímetro do polígono) x raio/2 AC = 2 .  . r . r/2, e portanto: AC =  . r² Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm Fonte/Imagem: http://www.prof2000.pt/users/amma/af33/trf1/geo10_p33-39_ficheiros/image006.png MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
10. 10. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Ac: Área do círculo r: Raio do círculo : (letra grega Pi) seu valor é aproximadamente 3,14 Fonte/Imagem: https://proinfojataizinhovandira.files.wordpress.com/2009/11/area_circ1.jpg Fonte/Imagem: https://caricatoons.files.wordpress.com/2009/02/seta2.gif?w=141&h=202 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
11. 11. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Área do SETOR CIRCULAR Denominamos setor circular a região do círculo delimitada por um dos seus ângulos centrais. Vamos calcular a área de um setor circular relativo a um ângulo central a, montando uma regra de três simples que relacione a medida do ângulo central e a área: Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes 360° –––– π r² α –––– A Portanto, A = ________ α·π r² 360°
12. 12. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Área da COROA CIRCULAR MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes coroa circular é a região compreendida entre duas circunferências concêntricas (de mesmo centro) que estão em um mesmo plano e têm as medidas de seus raios diferentes. A área S de uma coroa circular é igual à diferença entre a área do círculo maior e a do círculo menor cujos raios medem, respectivamente, R e r. Nesse caso, temos: A = πR² - πr² = π (R² - r²) Assim, A = π (R² - r²)
13. 13. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXEMPLOS 1º) Determine a área de um círculo de raio medindo 20 cm. (Use π = 3,14). Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 Fonte/Imagem: http://www.rifesta.com.br/image/data/produtos/escalopes_e_circulos/circulo_amarelo.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
14. 14. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Temos que r = 20 cm π = 3,14 Ac = ? Ac = 3,14 . 202 Ac = 3,14 . 400 Ac = 1256 cm2 RESPOSTA: 1256 cm² Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 A área do circulo é r² Fonte/Imagem: http://g03.a.alicdn.com/kf/HTB1uTI5HVXXXXXPXFXXq6xXFXXXI/50-Pcs-foto-de-vidro-cabochão-25-mm- cúpula-redonda-de-ampliação-DIY-círculo-desenho-animado.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
15. 15. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXEMPLOS 2º) Determine a medida da área (em km²) de uma praça circular que possui 9420 m de comprimento. (Use π = 3,14). Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 O comprimento da circunferência é 2r Fonte/Imagem: http://images.clipartlogo.com/files/ss/thumb/115/115839586/smiley-emoticons-face-vector_small.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
16. 16. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO A partir da fórmula do comprimento da circunferência, temos: C = 2 . π . r 9420 = 2 . 3,14 · r 9420 = 6,28 . r 6,28 . r = 9420 r = 9420 6,28 r = 1500 m = 1,5km Ac = r² = 3,14 . 1,5² = 7,06 km² RESPOSTA: 7,065 km² Note que: 1km = 1000m Fonte/Imagem: http://thumbs.dreamstime.com/z/vetor-face-feliz-6067654.jpg Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
17. 17. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos 2º) Determine a área da região azul em destaque, também chamada de coroa circular, representada pela figura a seguir. Considerando que a região que possui o círculo maior tem raio medindo 10 metros, e a região de círculo menor tem raio medindo 3 metros. Fonte/Texto/Imagem: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm EXEMPLOS MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
18. 18. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Área da região com raio medindo 10 m A = π . r² A = 3,14 . 10² A = 3,14 . 100 A = 314 m² Área da região com raio medindo 3 m A = π . r² A = 3,14 . 3² A = 3,14 . 9 A = 28,26 m² Fonte/Texto/Imagem: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
19. 19. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos A área da região em destaque azul (coroa circular) pode ser calculada por: A = 314 – 28,26 A = 285,74 m² RESPOSTA: 285,74 m² SOLUÇÃO Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm Fonte/Imagem: http://1.bp.blogspot.com/-e5rjW7tbuuY/Ttd10lFdYzI/AAAAAAAAATQ/lTVI40qnWsU/s1600/Palestrante.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
20. 20. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXEMPLOS 3º) Qual deve ser a área de um setor circular com ângulo central medindo 1200 e comprimento do raio igual a 12 cm, conforme figura ao lado? Fonte/Texto/Imagem: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-setor-circular.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
21. 21. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Vamos utilizar a regra de três simples: 3600 ------------- π . r² 1200 ------------------ x 360 . x = 120 . π . r² x = 120 . π . r² / 360 x = 120 . 3,14 . 12² / 360 x = 120 . 3,14 . 144 / 360 x = 54259,2 / 360 x = 150,72 cm² A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,72 cm². Fonte/Texto: http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-setor-circular.htm MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
22. 22. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos 1º) Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados. Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm EXERCÍCIOS Ladrilho é uma pequena placa de cerâmica, mármore, pedra, porcelana, argila, metal, etc. Fonte/Imagem: http://thumbs.dreamstime.com/z/point-d-interrogation-17230009.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
23. 23. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Como o diâmetro é igual a 12m, então o raio será igual a 6m, então, teremos: A = π . r² A = 3,14 . 6² A = 3,14 . 36 A = 113,04 m² Calculando 10% 10% = 10/100 10/100 x 113,04 = 11,30 Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm Exemplo de ladrilho. Ladrilho floral. Fonte/Imagem: http://www.rochbeton.com.br/img-produtos/florais/31b.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
24. 24. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Total de ladrilhos a serem comprados 113,04 + 11,30 124,34 m² RESPOSTA: Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos. Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm SOLUÇÃO Exemplos de ladrilhos diversos. Fonte/Imagem: http://www.etimorevestimentos.com.br/images/image3.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
25. 25. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXERCÍCIOS 2º) (UESPI) Um trabalhador rural gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? a) 6 h. b) 9 h. c) 12 h. d) 18 h. e) 20 h. Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 Imagem: Trabalhador rural. Fonte/Imagem: http://www.correiodoestado.com.br/upload/dn_noticia/2015/04/13acidente-trabalho-rural-cursos-cpt.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
26. 26. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Primeiramente, vamos considerar uma situação como se tivéssemos dois terrenos circulares: A1 de raio 6m e A2 de raio 12m. Em seguida vamos calcular a área desses dois terrenos: A1 = π . r² A1 = π . 6² A1 = 36π m² A2 = π . r² A2 = π . 12² A2 = 144π m² Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 Ac =r² Fonte/Imagem: http://engenhariacotidiana.com/wp-content/uploads/Depositphotos_11582986_M.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
27. 27. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Portanto, de acordo com os dados apresentados, podemos afirmar que o trabalhador gasta três horas para limpar o terreno de raio 6m, ou seja, o terreno de área 36π m². Dessa forma, utilizando a ideia de regra de três simples, temos: 3 h –––––– 36π m² x h –––––– 144π m² 36π . x = 3 . 144π x = 432 π 36π x = 12 h Podemos concluir que o trabalhador gastará 12 h para limpar um terreno de 12 metros de raio. A alternativa correta é a letra c. Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
28. 28. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXERCÍCIOS 3º) Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros. Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm Fonte/Imagem: https://encrypted- tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRoyC22hSYuhwgx0S5QIo974HYusDIhukA5Q__RW_Y9KYbkau6k MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
29. 29. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO A = π . r² A = 3,14 . 20² A = 3,14 . 400 A = 1256 m² RESPOSTA: 1256 m² de grama Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm Fonte/Imagem: https://vivernosenhor.files.wordpress.com/2013/05/apresentacao.jpg MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
30. 30. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Fonte/Texto: http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm EXERCÍCIOS 4º) Considerando que uma pizza tradicional grande possui 35 cm de raio e uma pizza tradicional pequena apresenta 25 cm, determine a diferença entre a área das duas pizzas. Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area- circunferencia.htm#resposta-6872 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
31. 31. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos Fonte/Texto: http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-comprimento-area- circunferencia.htm#resposta-6872 SOLUÇÃO Pizza Grande AcG = π · r² AcG = π · (35)² AcG = π · 1225 AcG = 1225π cm² Pizza Pequena AcP = π · r² AcP = π · (25)² AcP = π · 625 AcP = 625π cm² Conhecendo as duas áreas, vamos encontrar a diferença entre elas, a qual chamaremos de x: x = AcG – AcP x = 1225π – 625π x = 600π cm² Portanto, a diferença entre a área de uma pizza grande tradicional e a área de uma pizza pequena é de 600π cm². MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
32. 32. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos EXERCÍCIOS 5º) (ENEM – 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: Fonte/Texto/Imagem: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/areas-de-circulos MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
33. 33. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos A) A entidade I recebe mais material do que a entidade II. B) A entidade I recebe metade de material do que a entidade III. C) A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. D) As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. E) As três entidades recebem iguais quantidades de material Fonte/Texto/Imagem: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/areas-de-circulos MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
34. 34. Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos SOLUÇÃO Fonte/Texto/Imagem: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/areas-de-circulos Os raios das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, 1m, 1/2m e 1/4m. Em metros quadrados, as sobras SI, SII e SIII das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, tais que: Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material. RESPOSTA: E MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes
35. 35. REFERÊNCIAS SITES Matemática, 1ª Série, Áreas de figuras planas: Círculos  http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm  http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-circulo.htm  http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre- comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-6872  http://www.brasilescola.com/matematica/area-circulo.htm  http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/areas-de- circulos MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS, 3ª Série Áreas de figuras planas: Círculo e de suas partes

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