Como é chamada a reta perpendicular que passa no ponto médio de um lado do triângulo?

Algumas defini��es e propriedades

Defini��o - a mediatriz de um segmento AB � a reta perpendicular a AB passando pelo seu ponto m�dio. No applet � esquerda, a mediatriz do segmento AB est� em verde.

Propriedade da mediatriz: todo ponto da mediatriz de um segmento � equidistante das extremidades do segmento. (Demonstre isto utilizando o caso LAL de congru�ncia de tri�ngulos, de forma semelhante � demonstra��o da propriedade da bissetriz abaixo.)

Defini��o - a bissetriz de um �ngulo � a semi-reta interna ao �ngulo, com origem no v�rtice do �ngulo e que o divide em dois �ngulos congruentes. No applet � direita, a bissetriz do �ngulo BAC est� em vermelho.

Propriedade da bissetriz: todo ponto da bissetriz de um �ngulo � equidistante dos lados do �ngulo. Vamos demonstrar esta propriedade!! 

Para provar esta propriedade, vamos indicar detalhadamente cada etapa:

Passos da constru��o
- �ngulo BAC;
- bissetriz do �ngulo BAC;
- ponto D, qualquer sobre a bissetriz;
- segmento DE, dist�ncia de D at� AB;
- segmento DF, dist�ncia de D at� AC;

Fatos declarados
- <BAC � congruente a <DAC, pois AD � bissetriz;
- <DEF e <DFA s�o retos pois os segmentos ED e DF s�o dist�ncias de D at� AB e AC respectivamente;

Fatos demonstr�veis
- ED � congruente a DF

Demonstra��o
Para provar o fato demonstr�vel indicado vamos analisar os tri�ngulos EAD e FAD. Observe que estes tri�ngulos possuem um lado congruente (lado AD � comum) e dois �ngulos congruentes (s�o os fatos declarados: <BAC

CIRCUNFER�NCIA

Defini��o - circunfer�ncia � um conjunto de pontos de um plano, cuja dist�ncia at� um ponto dado deste plano � igual a uma dist�ncia (n�o nula) dada. O ponto dado � o centro (ponto O do applet) e a dist�ncia dada � o raio (segmento OA do applet).

Corda de um circunfer�ncia � um segmento cujas extremidades pertencem � circunfer�ncia (segmento BC). Di�metro de uma circunfer�ncia � uma corda que passa pelo centro.

Uma reta secante � uma circunfer�ncia � uma reta que intercepta a circunfer�ncia em dois pontos distintos (reta s). Uma reta tangente � uma circunfer�ncia intercepta a circunfer�ncia em um �nico ponto (reta r).

Propriedade: toda reta tangente a uma circunfer�ncia � perpendicular ao raio no ponto de tang�ncia.

A mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta que passa pelo ponto médio desse segmento, então, a mediatriz divide um segmento de reta ao meio. Para construí-la, é necessário o uso de régua e compasso.

Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Resumo sobre mediatriz

• A mediatriz é uma reta perpendicular e que passa pelo ponto médio de um segmento.
• Para encontrá-la, utilizamos régua e compasso.
• É possível traçar três mediatrizes no triângulo, uma para cada um de seus lados.
• O encontro das três mediatrizes do triângulo é o ponto conhecido como circuncentro.
• Além das mediatrizes, existe a altura, a bissetriz e a mediana dos lados do triângulo.

O que é mediatriz?

A mediatriz é a reta perpendicular que passa pelo ponto médio do segmento de reta, ou seja, é uma reta que divide esse segmento ao meio.

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Como se constrói a mediatriz?

Para encontrar a mediatriz de um segmento, é necessário fazer o uso de uma régua e um compasso e seguir os seguintes passos:

• 1º passo: traçar o segmento de reta e destacar as suas extremidades.

• 2º passo: fazer uma abertura um pouco maior que a metade do segmento AB.
• 3º passo: colocar a ponta seca do compasso sobre o ponto A e traçar um arco cortando o segmento AB.
• 4º passo: colocar a ponta seca do compasso sobre o segmento B e traçar um arco cortando o segmento AB, como na imagem a seguir:

• 3º passo: traçar a reta que passa pelos dois pontos de encontro dos arcos.

Importante: Dado qualquer ponto contido na mediatriz, esse ponto estará equidistante dos pontos A e B, ou seja, para todo ponto P pertencente à mediatriz do segmento AB, a distância de A até P será igual à distância de B a P.

Mediatriz de um triângulo

Como os lados do triângulo são segmentos de reta, é possível traçar a mediatriz deles. Dessa forma, é possível traçar três mediatrizes no triângulo, uma para cada um de seus lados.

O ponto de encontro das mediatrizes é conhecido como circuncentro, o centro da circunferência em que o triângulo pode ser inscrito.

Importante:O circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo, logo, ele fica a uma mesma distância de cada vértice. Essa distância é o raio da circunferência em que o triângulo está inscrito.

Saiba mais: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Quais as diferenças entre mediatriz, mediana, bissetriz e altura de um triângulo?

• Bissetriz de um triângulo: segmento de reta que divide o ângulo em duas partes congruentes. A diferença entre a bissetriz e a mediatriz é que esta é uma reta que passa pelo ponto médio, do lado do triângulo, já aquela divide o ângulo ao meio.
• Mediana do triângulo: segmento de reta que parte do vértice e vai até o ponto médio do triângulo. A diferença entre a mediana e a mediatriz é que a primeira é um segmento de reta que liga o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice, logo, ela não é necessariamente perpendicular; já na segunda temos uma reta perpendicular ao lado do triângulo.
• Altura do triângulo: segmento de reta que parte do vértice e vai até o lado oposto a esse vértice de forma perpendicular. Note que a altura não tem relação com o ponto médio do lado, diferentemente da mediatriz, que passa necessariamente pelo ponto médio.

Exercícios resolvidos sobre mediatriz

Questão 1

Em um triângulo foram traçadas as suas mediatrizes. Percebendo que existe um ponto de encontro dessas mediatrizes, um dos pontos notáveis do triângulo, ele é conhecido como:

A) baricentro

B) incentro

C) circuncentro

D) ortocentro

Resolução:

Alternativa C

O ponto de encontro das mediatrizes do triângulo é conhecido como circuncentro.

Questão 2

Dados os pontos A e B, que formam um segmento de reta, foi escolhido um ponto C, tal que a distância entre o ponto A e o ponto C e a distância entre o ponto B e o ponto C são iguais, logo, podemos afirmar que:

A) C é um ponto pertencente à bissetriz do ângulo ABC.

B) C é um ponto pertencente ao segmento de reta AB.

C) C é um ponto não pertencente ao segmento de reta AB.

D) C é necessariamente o ponto médio do segmento AB.

E) C é um ponto pertencente à mediatriz do segmento AB.

Resolução:

Alternativa E

Se as distâncias AC e BC são iguais, sabendo que AB é um segmento de reta, então o ponto C pertence à mediatriz desse segmento, pois os pontos contidos na mediatriz de um segmento são equidistantes das extremidades desse segmento de reta.

É a reta perpendicular à um lado do triângulo que passa pelo seu ponto médio?

Quais são as retas perpendiculares?

São retas perpendiculares aos seus lados que passam pelo ponto médio ao lado correspondente é *?

O que é o baricentro?