Considerando as combinações possíveis do novo sistema de emplacamento ao fazer uma busca

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• Quantas combinações são possíveis nas placas de automóveis?
• Quantas combinações de letras e números são possíveis no sistema novo de placas?
• Quantas combinações de placas são possíveis se usasse apenas três algarismos e quatro algarismos?
• Qual o número de placas de automóveis que podem ser fabricadas com três letras e quatro algarismos separadas de acordo com as placas de carros do país?

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rolimãs. Luana 
propôs desenhar as placas desses carrinhos de acordo com as seguintes regras:
1. Usar somente as letras X e Z.
2. Usar somente os algarismos 1, 2 e 3. 
3. Cada placa deve ter uma letra e três algarismos.
 ATIVIDADE
 0, 1, 2 
10, 11, 12, 20, 21, 22
100, 101, 102, 110, 111, ...
...
10000100012, ...
...
O zero é um número? Faça uma pesquisa sobre a invenção do zero para responder esta questão.
 PESQUISA
 Que tipos de quantidades o infinito representa? Muito grande? Muito pequena? Justifique.
 DEBATE
Nós humanos, não conseguimos contar certas quantidades, no en-
tanto o computadores nos superam e conseguem contar quantidades 
finitas muito grandes. 
Como determinar a quantidade de alguns agrupamentos de elementos de 
um conjunto finito sem contá-los um a um?
Tratamento	da	Informação
Ensino	Médio
210
4. Não pode ter algarismo repetido numa mesma placa.
5. A letra deve sempre vir primeiro.
 Quantas placas são possíveis formar considerando as regras 
acima? 
 E se fosse possível repetir os algarismos, quantas placas pode-
riam ser formadas?
 Faça um esquema e verifique as situações acima.
 Seria possível responder as questões anteriores sem registrar e 
sem contar uma a uma? Investigue.
A arte de arranjar ou combinar está presente, em muitas situações 
do dia-a-dia, na ciência e nas tecnologias. O estudo dessa arte teve seu 
início quando competidores de jogos de azar elaboraram processos ge-
rais, na busca de estratégias para vencer alguns jogos. Com isso, sur-
giu uma abordagem matemática que trata da contagem, chamada “aná-
lise combinatória”, que estuda os diferentes tipos de agrupamentos e 
que permite determinar as quantidades de elementos de um conjunto 
finito, sem contá-lo um a um. Um dos aspectos desta abordagem é o 
“princípio fundamental da contagem”.
Dentro deste princípio existem alguns aspectos importantes. Anali-
se as situações a seguir:
Para iniciar um jogo de computador é necessário fazer uma sele-
ção em cada um dos três menus que ele apresenta. O primeiro menu 
tem quatro opções de números de jogadores; o segundo tem oito op-
ções de nível de dificuldade; e o terceiro tem seis opções de velocida-
des. Quantas configurações possíveis têm esse jogo?
Suponha que passado para a segunda fase, o jogador tenha agora 
que escolher somente entre a opção de nível de dificuldade ou de ve-
locidade. Quantas opções de escolha esse jogador teria?
 Compare as estratégias utilizadas para a solução da situação 1 e 2.
 Investigue como são chamados os princípios envolvidos nas 
duas situações e discuta com sua turma.
 Investigue outras situações que envolvem estes dois princípios.
Procurando entender estes princípios, analisemos algumas situa-
ções reais que envolvem a contagem.
Arte	de	Contar
Matemática
211
Anteriormente, por volta da década de 1960, as placas de carros 
eram formadas somente por um algarismo que representava a cidade; 
neste caso o 7, seguido de duas dezenas. 
Depois houve uma mudança no sistema e as placas passaram a ter 
duas letras seguidas de quatro algarismos.
Neste sistema, as duas letras indicavam a cidade. Nele, se alguém 
cometesse alguma negligência no trânsito, só de olhar para as letras 
iniciais da placa, uma vez que nem sempre é possível ler as letras pe-
quenas que indicam o nome da cidade, as pessoas brincavam “tinha 
que ser de...” (nome da cidade).
Atualmente, como são formadas as placas dos carros?
Qual a lógica do sistema nacional de emplacamento?
O que representa as letras iniciais?
Com o aumento da frota de veículos, as placas na década de 1990 
tiveram nova mudança, passaram a ter três letras seguidas de quatro 
algarismos e, hoje as letras são estabelecidas por estado brasileiro. As 
letras que podem ser usadas são as 23 do nosso alfabeto e ainda: k, w 
e y, e os algarismos de 0 a 9.
O novo sistema começou especificamente na cidade de Curitiba, e 
por isso, no Paraná, as placas iniciam-se com as letras A e B.
 Escreva algumas placas de carros e observe se uma placa pode diferir de outra apenas porque 
apresenta um elemento diferente, ou por ter os mesmos elementos com ordem trocada.
 Sem considerar regras existentes para estados ou cidades, quantas placas eram possíveis formar 
utilizando duas letras do alfabeto e quatro algarismos? E se utilizar três letras e quatro algarismos? 
Compare e discuta os resultados.
 ATIVIDADE
Tratamento	da	Informação
Ensino	Médio
212
A seguir são apresentadas as condições reais de emplacamento no sistema atual para alguns 
estados.
Paraná: AAA 0001 a BEZ 9999
São Paulo: BFA 0001 a GKI 9999
Minas Gerais: GKL 0001 a HOK 9999
Rio Grande do Sul: IAQ 0001 a JDO 9999
Bahia: JKS 0001 a JSZ 9999
 Quantos carros são possíveis emplacar, nessas condições, em cada um desses estados?
 Nesse sistema, existem placas nas quais os algarismos sejam todos iguais a zero?
 Organizem-se em grupos e investigue as condições para os demais estados, de modo a deter-
minar as possibilidades de emplacamento para todos os estados brasileiros. 
 De acordo com o sistema de emplacamento, três letras e quatro algarismos, e considerando as 
letras que podem ser utilizadas em cada estado, quantos veículos podem ser emplacados no 
Brasil?
 Se houver aumento da frota de veículos, o que é mais viável: aumentar as letras ou os algaris-
mos? Por quê? 
 Verifique se na sua cidade tem carros com outras iniciais e discuta por que isso acontece.
Respeitando a letra inicial de cada estado, é permitido escolher as letras e até os algaris-
mos para uma placa de carros, desde que você pague uma taxa.
 Investigue quantas placas é possível formar com as iniciais de seu nome. 
 ATIVIDADE
A combinatória está presente nas várias áreas do conhecimento, in-
clusive na natureza. Nela, encontramos materiais nos estados físicos 
sólidos, líquidos e gasosos; assim como em várias cores ou texturas.
Na mesma forma que combinamos as letras para formar palavras 
com os mais diferentes significados, a natureza e o homem também 
combinam os elementos químicos formando as mais diferentes subs-
tâncias. Como nem todas as combinações (no sentido de ordenar ou 
agrupar ...) de letras formam palavras significativas, nem todas as com-
binações de átomos formam substâncias reais. 
Arte	de	Contar
Matemática
213
Você já tinha pensado sobre o que a fórmula da água H
2
O, representa?
 Com base no que foi descrito acima, reflita sobre o que a fórmula da água representa e discuta com 
sua turma.
 DEBATE
Poderíamos bancar o “cientista maluco” ou um alquimista e fazer 
as mais variadas combinações de substâncias na tentativa de descobrir 
novos compostos; como transformar todos os metais em ouro; inven-
tar a “fórmula” do amor; a “fórmula” da felicidade; a “fórmula” da ju-
ventude; a “fórmula” da imortalidade, etc.
Porém, por meio da Ciência Matemática, da Química e com auxílio 
das tecnologias, já sabemos que nem todas as combinações serão pos-
síveis num laboratório e não acontecem na natureza. 
	 Você	sabia	que	as	combinações	de	certos	
aminoácidos	formam	o	código	genético	
responsável	pela	nossa	vida?
Você já percebeu em crianças traços que lembram seus pais? Ou 
pessoas de uma mesma família com certos tipos de doenças? Por que 
isso ocorre? 
Os átomos de diferentes elementos combinam-se, em várias pro-
porções, para formar compostos. A quantidade dos elementos quími-
cos que entram na formação dos compostos deve ser definida, como 
numa “receita culinária”, que para dar certo, devemos respeitar as pro-
porções. É o que diz, em outras palavras, a Lei das Proporções De-
finidas: na formação de um determinado composto, seus elementos 
constituintes combinam-se sempre na mesma proporção de massa, in-
dependentemente da origem ou modo de preparação do composto.
Assim, para obtermos água num laboratório, devemos combinar hi-
drogênio e oxigênio sempre na mesma proporção, isto é, na razão de 
dois átomos de hidrogênio para um átomo de oxigênio. Ou ainda, a 
quantidade de hidrogênio tem que ser o dobro

Quantas combinações são possíveis nas placas de automóveis?

Quantas combinações de letras e números são possíveis no sistema novo de placas?

Quantas combinações de placas são possíveis se usasse apenas três algarismos e quatro algarismos?

Qual o número de placas de automóveis que podem ser fabricadas com três letras e quatro algarismos separadas de acordo com as placas de carros do país?