Considere a equação linear de 1º grau apresentada no quadro abaixo 3x − y 3 0

Inequação do 1º e 2º Grau: Entenda Com Exemplos

Inequação do 1º e 2º grau são desigualdades que apresentam pelo menos um valor desconhecido e servem para fazer comparações

Inequação do 1º grau é diferente de uma equação do primeiro grau. Enquanto uma equação expressa uma igualdade, a inequação expressa uma desigualdade.

Definição de uma inequação do 1º grau#

Chamamos de inequação do 1º grau uma desigualdade na variável x que pode ser reduzida em uma das formas: ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b < 0 ou ax + b ≤ 0, em que a, b ∈ R e a ≠ 0.

Na inequação utilizaremos os símbolos:

• > (Leia-se: Maior que)
• < (Leia-se: Menor que)
• ≥ (Leia-se: Maior ou igual)
• ≤ (Leia-se: Menor ou igual)

Esses sinais servem para comparar. A própria definição de inequação é clara, devemos descobrir números que satisfazem essa comparação.

Exemplo: x – 1 > 3

Qual o número que podemos substituir a incógnita x para que satisfaça essa inequação? É fácil perceber que qualquer valor maior que 4 é verdade.

Como resolver uma inequação do 1º grau?#

Para resolver uma inequação do 1º grau, o que fazemos é determinar um conjunto com todos os valores para a variável x que torna a sentença verdadeira.

Propriedades da inequação do 1º grau#

Resolvemos problemas de inequação isolando a variável x na sentença. Então as seguintes propriedades são utilizadas. Considerando x, y e a números reais:

• x < y ⇔ x + a < y + a, ∀a ∈ R
• x < y ⇔ ax < ay, se a > 0
• x < y ⇔ ax > ay, se a < 0

Vejamos agora como resolvermos uma inequação. Também faremos uma representação gráfica para você poder entender melhor.

Exercícios resolvidos#

Considere as seguintes inequações:

• 2x + 2 > 0
• x – 2 < 0
• 5x – 10 ≥ 0
• 3x + 3 ≤ 0

Exemplo 1: 2x + 2 > 0

Para achar o conjunto solução desse problema, ou seja, quais valores podemos substituir em x tal que satisfaça esse problema.

• 2x + 2 > 0
• 2x > -2
• x > –2⁄2
• x > -1

Dessa forma qualquer valor maior que -1 satisfaz o problema.

Analisando o gráfico acima temos que todos os valores maiores que -1 resolvem a inequação. No gráfico a bola sem preenchimento indica que somente valores maiores que -1, ou seja, a parte indicada pela parte em vermelho formam o conjunto solução que pode ser representado assim: S = {x ∈ R; x > -1}.

Exemplo 2: x – 2 < 0

• x – 2 < 0
• x < 2

Neste exemplo qualquer valor menor que 2 satisfaz a inequação.

A parte vermelha do gráfico mostra que somente os valores menores que 2 resolvem a inequação. Dessa forma, o conjunto solução para esse problema é: S = {x ∈ R; x < 2}.

Exemplo 3: 5x – 10 ≥ 0

• 5x – 10 ≥ 0
• 5x ≥ 10
• x ≥ 10⁄5
• x ≥ 2

Para este problema qualquer valor maior ou igual a 2 resolve o problema.

Esse gráfico é um pouco diferente do primeiro. Aqui temos uma representação com a bola no gráfico totalmente preenchida. Isso quer dizer que todos os valores maiores que 2, e também o número 2, fazem parte do conjunto solução desse problema. Assim: S = {x ∈ R; x ≥ 2}.

Exemplo 4: 3x + 3 ≤ 0

• 3x + 3 ≤ 0
• 3x ≤ -3
• x ≤ –3⁄3
• x ≤ -1

Assim, qualquer valor menor ou igual a -1 satisfaz esse problema.

O gráfico mostra que todos os valores menores que -1, e também o -1, resolvem a inequação. Assim: S = {x ∈ R; x ≤ -1}.

Sistema de inequações do 1º grau#

Assim como temos os sistemas lineares que envolvem equações do 1º grau, também temos os sistemas de inequações do 1º grau.

Considere o sistema com as seguintes inequações:

Para resolver esse sistema devemos resolver cada inequação separadamente, e depois analisar os conjuntos soluções encontrados para cada uma das desigualdades.

Então, vamos resolver o primeiro problema:

• 2x + 6 ≥ 2
• 2x ≥ 2 – 6
• 2x ≥ -4
• x ≥ –4⁄2
• x ≥ -2

Portanto, para qualquer valor maior ou igual a -2 satisfaz essa inequação.

Agora vamos resolver o segundo problema:

• x + 3 < 2
• x < 2 – 3
• x < -1

Portanto, neste problema temos que qualquer valor menor que -1 satisfaz o problema.

Então, temos o seguinte gráfico para o sistema:

Em um sistema de inequações precisamos analisar e responder cada inequação separadamente e depois comparar os gráficos lado a lado para encontrar o conjunto solução que resolve as inequações do sistema.

Dessa forma, resolvemos o primeiro problema e encontramos que qualquer valor maior ou igual a -2 faz parte do conjunto solução e está representado pelo primeiro gráfico. Na segunda inequação encontramos que qualquer valor menor que -1 resolve o segundo problema, veja o gráfico do meio.

Mas para encontrar o conjunto solução do sistema devemos colocar os gráficos paralelamente na horizontal, construir um novo gráfico e analisar.

Assim, para esse sistema qualquer valor menor que -1 e qualquer valor maior ou igual a -2 resolve esse sistema, como pode ser visto no gráfico de baixo. Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {x ∈ R; x < -1 ou x ≥ -2}.

Inequação do 2º grau#

Uma inequação do 2º grau é uma desigualdade parecida com uma equação do 2º grau, porém as inequações apresentam uma desigualdade, enquanto as equações uma igualdade entre os termos.

Definição de uma inequação do 2º grau#

Chamamos de inequação do 2º grau uma desigualdade na variável x que apresenta um grau 2 e pode ser reduzida em uma das formas: ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c ≥ 0 ou ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c ≤ 0, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

Exemplos:

• 2x² + 2x + 2 ≤ 0
• x² + x – 1 < 0
• 3x² – 2x + 2 ≥ 0
• 5x² – x + 1 > 0

Como resolver uma inequação do 2º grau?#

Resolvemos uma inequação encontrando um conjunto solução com todos os valores que se substituído na variável x tornam a sentença verdadeira.

Método de resolução#

Considerando y = f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, analisaremos a variação de sinais nessa função para conseguirmos chegar a solução desta maneira:

1. Vamos encontrar as raízes reais para a função f assinalando os valores no eixo x das abscissas;
2. Desenhar o gráfico que representa a função f definida por uma parábola passando pelos valores das raízes do item anterior;
3. Marcar no eixo x os valores que satisfazem a sentença. Caso a função não admitir raízes reais, então f(x) > 0 ∀x ∈ R, para a > 0 ou f(x) < 0 ∀x ∈ R para a < 0.

Exercício resolvido#

1) Encontre o conjunto solução para a inequação: x² + x – 2 ≤ 0.

Para resolver uma inequação do 2º grau devemos seguir o mesmo método usado para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara.

Então, para o problema acima vamos aplicar a fórmula:

Os coeficientes a, b e c são:

• a = 1
• b = 1
• c = -2

Vamos resolver primeiramente o discriminante Δ (delta): Δ = b² – 4ac

• Δ = b² – 4ac = 1² – 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9

Agora vamos utilizar a expressão abaixo para encontrar as raízes reais que resolvem o problema:

Substituindo os valores dos coeficientes acima, temos:

Perceba que temos um mais ou menos alí entre -1 e a raiz. Então vamos ter que calcular separadamente para facilitar o entendimento. Vamos chamar de x1 para + e x2 para –, então:

Para x1, temos:

Para x2, temos:

Logo, o conjunto solução para a inequação do exemplo é: S = {x ∈ R; -2 ≤ x ≤ 1}

Agora precisamos desenhar o gráfico para a inequação do exemplo, esboçando o intervalo definido pelas raízes que forma o conjunto solução para o problema proposto.

Gráfico de uma inequação do 2º grau#

O gráfico de uma inequação do 2º grau é uma função, então para a inequação do exemplo temos que: f(x) = x² + x – 2. As raízes para f são as raízes que encontramos usando a fórmula de Bhaskara, assim x1 = -2 e x2 = 1.

Como o coeficiente é a > 0 temos que a função tem a parábola com a concavidade voltada para cima.

Então o gráfico para f é:

Logo, para -2 ≤ x ≤ 1, temos que f ≤ 0.

Exercícios#

Veja os exercícios no link abaixo:

• Exercícios sobre inequações

Bons estudos!

Veja mais…

• Equação do primeiro grau
• Equação do segundo grau
• Tabuada
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• Fração
• Razão e proporção
• Potenciação
• Regra de três simples
• Regra de três composta

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