Lista de exercícios de grandezas diretamente e inversamente proporcionais doc

As grandezas proporcionais têm seus valores aumentados ou diminuídos em uma relação que pode ser classificada como proporcionalidade direta ou inversa.

O que são grandezas proporcionais?

Uma grandeza é definida como algo que pode ser medido ou calculado, seja velocidade, área ou volume de um material, e é útil para comparar com outras medidas, muitas vezes de mesma unidade, representando uma razão.

A proporção é uma relação de igualdade entre razões e, assim, apresenta a comparação de duas grandezas em diferentes situações.

A igualdade entre a, b, c e d é lida da seguinte forma: a está para b, assim como c está para d.

A relação entre as grandezas podem ocorrer de maneira diretamente ou inversamente proporcional.

Como funcionam as grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Quando a variação de uma grandeza faz com que a outra varie na mesma proporção, temos uma proporcionalidade direta. A proporcionalidade inversa é observada quando a mudança em uma grandeza produz uma alteração oposta na outra.

Proporcionalidade direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação da outra na mesma proporção, ou seja, duplicando uma delas, a outra também duplica; reduzindo pela metade, a outra também reduz na mesma quantidade... e assim por diante.

Graficamente a variação diretamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma reta que passa pela origem, pois temos y = k.x, sendo k uma constante.

Exemplo de proporcionalidade direta

Uma impressora, por exemplo, tem a capacidade de imprimir 10 páginas por minuto. Se dobrarmos o tempo, dobramos a quantidade de páginas impressas. Da mesma forma, se pararmos a impressora na metade de um minuto, teremos a metade do número de impressões esperadas.

Agora, veremos com números a relação entre as duas grandezas.

Em uma gráfica são feitas impressões de livros escolares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 horas, a mesma máquina produz mais 60 impressões, em 4 horas, 80 impressões, e, em 5 horas, 100 impressões.

A constante de proporcionalidade entre as grandezas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o número de cópias realizadas.

O quociente dessa sequência (1/20) recebe o nome de constante de proporcionalidade (k).

O tempo de trabalho (2, 3, 4 e 5) é diretamente proporcional ao número de cópias (40, 60, 80 e 100), pois ao dobrar o tempo de trabalho o número de cópias também dobra.

Cálculo de grandeza diretamente proporcional com regra de três.

Para calcular um valor desconhecido entre grandezas diretamente proporcionais, podemos usar a Regra de Três.

No exemplo anterior da gráfica, em 5 horas, quantos livros serão impressos?

2 horas imprimem 40 livros
5 horas imprimem x livros

↑ mais horas de trabalho = ↑ mais livros impressos (grandezas diretas)

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

Como havíamos visto na tabela, em 5 h, 100 livros são impressos.

Proporcionalidade inversa

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, dobrando uma grandeza, a correspondente reduz pela metade; triplicando uma grandeza, a outra reduz para terça parte... e assim por diante.

Graficamente a variação inversamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma hipérbole, pois temos y = k/x, sendo k uma constante.

Exemplo de proporção inversa

Quando se aumenta a velocidade, o tempo para concluir um percurso é menor. Da mesma forma, ao diminuir a velocidade mais tempo será necessário para fazer o mesmo trajeto.

Confira a seguir uma aplicação de relação entre essas grandezas.

João decidiu contar o tempo que levava indo de casa à escola de bicicleta com diferentes velocidades. Observe a sequência registrada.

Podemos fazer a seguinte relação com os números das sequências:

Escrevendo como igualdade de razões, temos:

Nesse exemplo, a sequência de tempo (2, 4, 5 e 1) é inversamente proporcional à velocidade média pedalando (30, 15, 12 e 60) e a constante de proporcionalidade (k) entre essas grandezas é 60.

Observe que quando um número de uma sequência dobra, o número da sequência correspondente reduz pela metade.

Cálculo de grandeza inversamente proporcional com regra de três.

No exemplo do João indo de casa à escola de bicicleta.

↑ maior velocidade = ↓ menor tempo (grandezas inversas)

Andando a 30 m/s João demora 2 min para chegar à escola. Se andar a 12 m/s, quanto tempo ele levará para completar o percurso?

Escrevendo as proporções

Como se trata de grandezas inversas, devemos inverter uma razão.

Utilizando a propriedade fundamental das proporções, multiplicamos cruzado.

Como vimos na tabela do exemplo, se João diminuir a velocidade para 12 m/s, ele aumentará o tempo para 5 min.

Veja também: Proporcionalidade

Exercícios comentados sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Questão 1

Classifique as grandezas relacionadas a seguir em diretamente ou inversamente proporcional.

a) Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um veículo.
b) Quantidade de tijolos e área de uma parede.
c) Desconto dado em um produto e o valor final pago.
d) Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher uma piscina.

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Respostas corretas:

a) Grandezas diretamente proporcionais. Quanto mais quilômetros um veículo percorrer, maior o consumo de combustível para realizar o percurso.

b) Grandezas diretamente proporcionais. Quanto maior a área de uma parede, maior o número de tijolos que farão parte dela.

c) Grandezas inversamente proporcionais. Quanto maior o desconto dado na compra de um produto, menor o valor que se pagará pela mercadoria.

d) Grandezas inversamente proporcionais. Se as torneiras possuem a mesma vazão, elas liberam a mesma quantidade de água. Portanto, quanto mais torneiras abertas, menor será o tempo para que a quantidade de água necessária para preencher a piscina seja liberada.

Questão 2

Pedro tem uma piscina em sua casa que mede 6 m de comprimento e comporta 30 000 litros de água. Seu irmão Antônio decide também construir uma piscina com a mesma largura e profundidade, mas com 8 m de comprimento. Quantos litros de água cabem na piscina de Antônio?

a) 10 000 L
b) 20 000 L
c) 30 000 L
d) 40 000 L

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Resposta correta: d) 40 000 L.

Agrupando as duas grandezas dadas no exemplo, temos:

De acordo com a propriedade fundamental das proporções, na relação entre as grandezas, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.

Para resolver essa questão utilizamos o x como incógnita, ou seja, o quarto valor que deve ser calculado a partir dos três valores dados no enunciado.

Utilizando a propriedade fundamental das proporções, calculamos o produto dos meios e o produto dos extremos para encontrar o valor de x.

Observe que entre as grandezas há proporcionalidade direta: quanto maior o comprimento da piscina, maior a quantidade de água que ela comporta.

Veja também: Razão e Proporção

Questão 3

Em uma lanchonete, seu Alcides prepara suco de morango todos os dias. Em 10 minutos e utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de preparo, seu Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando?

a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min

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Resposta correta: d) 5 min.

Note que entre as grandezas da questão há proporcionalidade inversa: quanto mais liquidificadores estiverem preparando suco, menos tempo será necessário para que todos estejam prontos.

Sendo assim, para resolver esse problema a grandeza de tempo deve ser invertida.

Aplicamos então a propriedade fundamental da proporção e resolvemos a questão.

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Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.