Números inteiros racionais e reais problemas de contagem

Em resumo, os conjuntos numéricos são a união de números que tem as mesmas características. 

Um conjunto, em conceito, representa a união de elementos que têm atributos semelhantes. Então, dentro da matemática, os conjuntos numéricos reúnem números de características parecidas. 

Esse conteúdo é um dos assuntos que mais caem no Enem, então trouxemos neste artigo um resumo sobre conjuntos numéricos. 

O que são, quais são os conjuntos e subconjuntos e onde você pode encontrar questões que já caíram no Enem para treinar. 

Você vai conferir: 

O que são conjuntos numéricos? 
Os 6 conjuntos numéricos
Questões do Enem sobre conjuntos numéricos para praticar
Conclusão

O que são conjuntos numéricos? 

Os conjuntos numéricos são uma organização de elementos numéricos em grupos classificados pela semelhança entre estes elementos. 

Dentro da matemática, o ramo que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Conjuntos. 

Essa teoria diz que todos os elementos podem ser agrupados a partir de características semelhantes, desde frutas e animais até os numerais. 

Ao todo, existem seis conjuntos numéricos. 

Eles, como dissemos, são classificados de acordo com características próprias, o que nos gera os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, irracionais, irreais e complexos. 

Na próxima seção, iremos explorar cada um desses conjuntos em maior profundidade, mas agora, para entender como eles se relacionam entre si, confira algumas de suas propriedades: 

• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R). 

Para ficar mais claro ainda, você pode conferir a relação entre os conjuntos na figura abaixo: 

Fonte: todamateria.com.br 

E agora que você já entendeu as propriedades, vamos conferir as características de cada conjunto numérico, seu conceito, símbolo e subconjuntos. 

Números naturais (N)  

O conjunto dos números naturais reúne aqueles números que usamos para contar desde o 0 até o infinito. Este conjunto numérico é representado pela letra N. 

A maior parte dos conjuntos conta com subconjuntos. A lista abaixo engloba os subconjuntos de números naturais: 

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: é o subconjunto que reúne números naturais não-nulos, ou seja, esse subconjunto não conta com o número 0. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: é o subconjunto que reúne os números pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: ao contrário do subconjunto anterior, este reúne os números ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: este subconjunto dos números naturais reúne os números primos. 

Números Inteiros (Z)  

O conjunto dos números inteiros reúne todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Ou seja, além dos números naturais positivos, ele reúne os números negativos também. 

Este conjunto é representado pela letra Z. 

Por conta de o conjunto de números inteiros reunir também números naturais, podemos dizer que o conjunto numérico N faz parte do conjunto numérico Z (N ⊂ Z). 

Quanto aos seus subconjuntos, são estes: 

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: contendo os números inteiros não-nulos, ou seja, este conjunto não inclui o número 0. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: reúne os números inteiros não-negativos. Este subconjunto acaba sendo igual ao conjunto de números naturais. Ou seja, Z+ = N. 
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: reunindo números inteiros não-positivos. 
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: os números inteiros negativos e sem o zero. 

Números racionais (Q)  

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q e reúne todos os elementos que podem ser escritos em forma de fração, além dos números inteiros. 

Dessa forma, todo número inteiro é também um número racional, fazendo com que o conjunto numérico Z seja um subconjunto de Q. 

Além dos números que podem ser escritos em fração, o conjunto dos números racionais também inclui dízimas periódicas. 

Isso porque estes números decimais que se repetem após a vírgula (por exemplo: 0,33333333...), embora possuam casas infinitas, podem ser escritos em forma de fração. 

Quanto aos subconjuntos, confira a listagem: 

• Q*: é o subconjunto que reúne os números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+: reúne os números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero. 
• Q*+: é o subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero. 
• Q–: subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero. 
• Q*–: reunindo os números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero. 

Números irracionais (I) 

Por sua vez, os números irracionais são o conjunto que reúne os números decimais não exatos, obtidos pela divisão de números inteiros, com uma representação infinita e não periódica. 

Eles também não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. 

Por exemplo, o π (Pi), 3,14159..., é um número irracional. Este conjunto é representado pela letra I. 

Os números irracionais, ao contrário dos outros presentes nesta lista, não possuem subconjuntos. 

Números reais (R)  

Já o conjunto dos números reais, representado pela letra R, é formado pelos conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (I). Dessa forma, temos que R = Q U I. 

Também entendemos, por essa relação que, os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais e irracionais são subconjuntos dos números reais. 

Porém, é importante observar que mesmo estando dentro de um mesmo conjunto, de números reais, os números irracionais e racionais não são a mesma coisa. 

Por exemplo, um número real pode ser irracional, mas ele não pode ser racional. O contrário também é válido, um número pode ser racional e real, mas não pode ser irracional. 

Quanto aos subconjuntos, esta é a listagem: 

• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 

Números complexos 

Por fim, os números complexos são compostos por uma parte real e uma parte imaginária. 

Isso significa que eles são formados por números que fazem parte do conjunto de números reais, mas também pelo conjunto de pares ordenados (x, y). 

Dessa forma, o conjunto dos números complexos se define pelas operações de: 

• Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d 
• Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
• Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc) 

Questões do Enem sobre conjuntos numéricos para praticar 

Agora que você já entendeu o que são os conjuntos numéricos e já conferiu todos os seis conjuntos que existem em resumo, chegou a hora de treinar. 

E não existe forma melhor de treinar para o Enem do que com as questões que já caíram na prova.  

Assim, você consegue não apenas praticar o conteúdo, mas também entender e mecânica das questões. 

Por isso, acesse aqui as edições anteriores do Enem! 

Conclusão 

Esperamos que este resumo sobre conjuntos numéricos tenha sido de grande ajuda para você. 

Falamos aqui sobre o que são os conjuntos numéricos, como eles se organizam em seis grupos e subgrupos e como você pode treinar para o Enem. 

Não deixe de conferir outros artigos no nosso site sobre matemática para o Enem. 

Leia também: 

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