Quais são os números naturais entre 0 é 99?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Introdu��o aos n�meros naturais

Everton Cirillo
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

1 Introdu��o aos N�meros Naturais
2 A constru��o dos N�meros Naturais
3 Igualdade e Desigualdades
4 Opera��es com N�meros Naturais
5 A adi��o de n�meros naturais
6 Propriedades da Adi��o
7 Curiosidade: Tabela de adi��o
8 Multiplica��o de N�meros Naturais
9 Propriedades da multiplica��o
10 Propriedade Distributiva
11 Divis�o de N�meros Naturais
12 Potencia��o de N�meros Naturais
13 Propriedades da Potencia��o
14 Potencia��o com o navegador
15 N�meros grandes

1 Introdu��o aos N�meros Naturais

O conjunto dos n�meros naturais � representado pela letra mai�scula $N$ e estes n�meros s�o constru�dos com os algarismos:

\[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\]

conhecidos como algarismos indo-ar�bicos. No s�culo VII, os �rabes invadiram a �ndia, difundindo o seu sistema num�rico.

Embora o zero n�o seja um n�mero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos consider�-lo como um n�mero natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades alg�bricas que os n�meros naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numera��o para suprir a defici�ncia de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas hist�ricas sobre o zero ou Nota��o Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o bel�ssimo livro: Hist�ria Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999, de Georges Ifrah.

Na sequ�ncia, consideramos o conjunto dos n�meros naturais tendo o n�mero zero como primeiro elemento (para este conjunto ter mais propriedades alg�bricas) e denotamos este conjunto por:

\[N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \}\]

Representamos o conjunto dos n�meros naturais com a letra $N$. As retic�ncias (tr�s pontos) indicam que este conjunto n�o tem fim. $N$ � um conjunto com infinitos n�meros.

Excluindo o zero do conjunto dos n�meros naturais, o conjunto � representado por:

\[N* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... \}\]

2 A constru��o dos N�meros Naturais

Todo n�mero natural dado tem um sucessor (n�mero que vem depois do n�mero dado), considerando tamb�m o zero.

Exemplos: Seja $m$ um n�mero natural.

O sucessor de $m$ � $m+1$.
O sucessor de m � m+1.
O sucessor de 0 � 1.
O sucessor de 1 � 2.
O sucessor de 19 � 20.
Se um n�mero natural � sucessor de outro, ent�o os dois n�meros juntos s�o n�meros consecutivos.

Exemplos:

1 e 2 s�o n�meros consecutivos.
5 e 6 s�o n�meros consecutivos.
50 e 51 s�o n�meros consecutivos.
V�rios n�meros formam uma cole��o de n�meros naturais consecutivos se o segundo � sucessor do primeiro, o terceiro � sucessor do segundo, o quarto � sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

1,2,3,4,5,6,7 s�o consecutivos.
5,6,7 s�o consecutivos.
50, 51, 52 e 53 s�o consecutivos.
Todo n�mero natural $n$, exceto o zero, tem um antecessor (n�mero que vem antes do n�mero dado).

Exemplos: Se $m$ � um n�mero natural finito diferente de zero.

O antecessor do n�mero $m$ � $m-1$.
O antecessor de 2 � 1.
O antecessor de 56 � 55.
O antecessor de 10 � 9.

O conjunto abaixo � conhecido como o conjunto dos n�meros naturais pares. Embora uma sequ�ncia real seja um outro objeto matem�tico denominado fun��o, algumas vezes utilizaremos a denomina��o sequ�ncia dos n�meros naturais pares para representar o conjunto dos n�meros naturais pares:

\[P = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... \}\]

O conjunto abaixo � conhecido como o conjunto dos n�meros naturais �mpares, �s vezes tamb�m chamado, a sequ�ncia dos n�meros �mpares.

\[I = \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... \}\]

3 Igualdade e Desigualdades

Dizemos que um conjunto A � igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A est� contido no conjunto B e o conjunto B est� contido no conjunto A. Quando a condi��o anterior � satisfeita, escrevemos A=B (que se l�: A � igual a B). Quando n�o ocorre a igualdade, denotamos tal fato por $A \neq B$, que se l�: A � diferente de B.

Na defini��o de igualdade de conjuntos, n�o � importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho seguinte, os elementos do conjunto A s�o os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Seja agora uma situa��o em que os elementos dos conjuntos A e B s�o distintos.

Sejam $A=\{a,b,c,d\}$ e $B=\{1,2,3,d\}$. Nem todos os elementos do conjunto A est�o no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B est�o no conjunto A. Tamb�m N�O podemos afirmar que um conjunto � maior do que o outro conjunto, mas podemos afirmar que o conjunto A � diferente do conjunto B.

Exerc�cio: H� um espa�o em branco entre dois n�meros em cada linha. Qual � o sinal apropriado que deve ser posto neste espa�o: $<$, $>$ ou $=$.

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 159 & {\quad} & 170 \\ \hline 852 & {\quad} & 321 \\ \hline 587 & {\quad} & 587 \\ \hline \end{array}\]

Exerc�cio: Representar analiticamente cada conjunto, isto �, atrav�s de alguma propriedade e depois por extens�o, apresentando os elementos do conjunto:

$N$ dos n�meros Naturais.
$P$ dos n�meros Naturais Pares.
$I$ dos n�meros Naturais �mpares.
$E$ dos n�meros Naturais menores que 16.
$L$ dos n�meros Naturais maiores que 11.
$R$ dos n�meros Naturais maiores ou iguais a 28.
$C$ dos n�meros Naturais que est�o entre 6 e 10.

4 Opera��es com N�meros Naturais

Na sequ�ncia, estudamos as duas principais opera��es poss�veis no conjunto dos n�meros naturais. Praticamente, toda a Matem�tica � constru�da a partir destas duas opera��es: adi��o e multiplica��o.

5 A adi��o de n�meros naturais

A primeira opera��o fundamental da Aritm�tica, tem por finalidade reunir em um s� n�mero, todas as unidades de dois ou mais n�meros. Antes de surgir os algarismos indo-ar�bicos, as adi��es eram realizadas por meio de t�buas de calcular, com o aux�lio de pedras ou por meio de �bacos.

6 Propriedades da Adi��o

Fechamento: A adi��o no conjunto dos n�meros naturais � fechada, pois a soma de dois n�meros naturais � ainda um n�mero natural. O fato que a opera��o de adi��o ser fechada em $N$ � conhecido na literatura do assunto como: A adi��o � uma lei de composi��o interna no conjunto $N$.
Associativa: A adi��o no conjunto dos n�meros naturais � associativa, pois na adi��o de tr�s ou mais parcelas de n�meros naturais quaisquer � poss�vel associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com tr�s n�meros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que � igual � soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
Elemento neutro: No conjunto dos n�meros naturais, existe o elemento neutro que � o zero, pois tomando um n�mero natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado ser� o pr�prio n�mero natural.
Comutativa: No conjunto dos n�meros naturais, a adi��o � comutativa, pois a ordem das parcelas n�o altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

7 Curiosidade: Tabela de adi��o

Para somar dois n�meros, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um n�mero na 1a. coluna e um segundo n�mero na 1a. linha. Na interse��o da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos n�meros.

\[\begin{array}{|r|rrrrrrrrrr|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \\ \hline \end{array}\]

Por exemplo, se tomarmos o n�mero $7$ na linha horizontal e o n�mero $6$ na linha vertical, obtemos a soma $13$ no cruzamento da linha do $7$ com a coluna do $6$.

8 Multiplica��o de N�meros Naturais

� a opera��o que tem por finalidade adicionar o primeiro n�mero denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas s�o as unidades do segundo n�mero denominado multiplicador.

Exemplo: $4$ vezes $9$ � o mesmo que somar o n�mero $9$ quatro vezes:

\[4 {\times} 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36\]

O resultado da multiplica��o � o produto e os n�meros dados que geraram o produto, s�o os fatores. Usamos o sinal ${\times}$ ou $�$ para representar a multiplica��o.

9 Propriedades da multiplica��o

Fechamento: A multiplica��o � fechada no conjunto $N$ dos n�meros naturais, pois realizando o produto de dois ou mais n�meros naturais, o resultado est� em $N$. O fato que a opera��o de multiplica��o � fechada em $N$ � conhecido na literatura do assunto como: A multiplica��o � uma lei de composi��o interna no conjunto $N$.
Associativa: Na multiplica��o, podemos associar tr�s ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro n�mero natural, obtemos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. $\begin{matrix} (m.n).p = m.(n.p)\\ (3.4).5 = 3.(4.5) = 60 \end{matrix}$
Elemento Neutro: No conjunto dos n�meros naturais existe um elemento neutro para a multiplica��o que � o $1$. Qualquer que seja o n�mero natural $n$, tem-se que: $\begin{matrix} 1.n = n.1 = n \\ 1.7 = 7.1 = 7 \end{matrix}$.
Comutativa: Quando multiplicamos dois n�meros naturais quaisquer, a ordem dos fatores n�o altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. $\begin{matrix}m.n = n.m \\ 3.4 = 4.3 = 12\end{matrix}$.

10 Propriedade Distributiva

Multiplicando um n�mero natural pela soma de dois n�meros naturais, � o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

\[\begin{matrix} m \times (p+q) = m \times p + m \times q \\ 6 \times (5+3) = 6 \times 5 + 6 \times 3 = 30+18=48 \end{matrix}\]

11 Divis�o de N�meros Naturais

Dados dois n�meros naturais, �s vezes precisamos saber quantas vezes o segundo n�mero est� contido no primeiro n�mero. O primeiro n�mero que � o maior � o dividendo e o outro que � menor � o divisor. O resultado da divis�o � o quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obtemos o dividendo.

No conjunto $N$ dos n�meros naturais, a divis�o n�o � fechada, pois nem sempre � poss�vel dividir um n�mero natural por outro n�mero natural e na ocorr�ncia disto a divis�o n�o � exata.

Rela��es essenciais numa divis�o de n�meros naturais

Em uma divis�o exata de n�meros naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo: $35 \div 7 = 5$.
Em uma divis�o exata de n�meros naturais, o dividendo � o produto do divisor pelo quociente: $35 = 5 \times 7$.
A divis�o de um n�mero natural n por zero n�o � poss�vel pois, se admit�ssemos que o quociente fosse $q$, ent�o poder�amos escrever: $n \div 0 = q$ e isto significaria que: $n=0 \times q=0$, o que n�o � correto! Assim, a divis�o de $n$ por 0 n�o tem sentido ou ainda, � imposs�vel.

Exerc�cio: Se X=6 e Y=9, qual � o valor da soma do dobro de X com o triplo de Y?

12 Potencia��o de N�meros Naturais

Para dois n�meros naturais $m$ e $n$, a express�o $m^n$ � um produto de $n$ fatores iguais ao n�mero $m$, ou seja:

\[m^n = m.m.m...m.m \qquad \tag{$n$ vezes}\]

denominada pot�ncia.

O n�mero que se repete como fator � denominado base da pot�ncia que neste caso � $m$. O n�mero de vezes que a base se repete � o expoente que neste caso � $n$. O resultado � a pot�ncia.

Esta opera��o � uma multiplica��o com fatores iguais, como por exemplo:

\[\begin{matrix} 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \\ 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \end{matrix}\]

13 Propriedades da Potencia��o

Uma pot�ncia cuja base � igual a $1$ e o expoente natural � $n,$ denotada por $1^n$, � igual a 1.

Exemplos:

$1^n = 1 \times 1 \times ... \times 1=1$ ($n$ vezes).
$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$1^7 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1$
Se $n\in N$ � n�o nulo, ent�o temos que $n^0=1$. Por exemplo: $n^0=1$, $5^0=1$ e $49^0=1$.
A pot�ncia zero elevado a zero, denotada por $0^0$, carece de sentido no contexto do Ensino Fundamental. Se necessitar aprofundamento sobre o assunto, visite o nosso link Zero elevado a zero.
Qualquer que seja a pot�ncia em que a base � um n�mero natural $n$ e o expoente � igual a 1, denotada por $n^1$, � igual ao pr�prio $n$. Por exemplo: $n^1=n$, $5^1=5$ e $64^1=64$.
Toda pot�ncia da forma $10^n$ � um n�mero formado pelo algarismo 1 seguido de $n$ zeros.

Exemplos:

$10^3 = 1000$
$10^8 = 100.000.000$
$10^0 = 1$

14 Potencia��o com o navegador

Para obter uma pot�ncia $M^n$ com o navegador, como por exemplo $12^5$, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)

da forma como est� escrito, na caixa do seu navegador que cont�m o nome do arquivo que � acessado neste momento (location=endere�o). Ap�s isto, pressione a tecla ENTER. Voc� ver� uma nova p�gina com uma calculadora, na qual voc� realizar esta potencia��o para obter $248832$ e muitas outras opera��es dispon�veis.

15 N�meros grandes

No livro Matem�tica e Imagina��o, o matem�tico americano Edward Kasner apresentou um n�mero denominado googol que � representado por $1$ seguido de $100$ zeros.

\[1\;\text{googol} = 10^{100}\]

Ele pensou que este era um n�mero superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras.

Um googol � um pouco maior do que o n�mero total de part�culas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de $10^{80}$. Se o espa�o com estas part�culas fosse comprimido de uma forma s�lida com neutrons, este ficaria com algo em torno de $10^{128}$ part�culas.

Outro matem�tico criou ent�o o googolplex e o definiu como $10$ elevado ao googol.

\[1 \text{ googolplex} = 10^{\text{googol}}\]

Exerc�cios:

Problema1: Na figura seguinte, insira os n�meros $1,2,3,4,5,6$ nos c�rculos, de modo que a soma de cada lado seja sempre igual a $10$.

Problema2: Um gavi�o viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:

Ol� minhas 100 pombinhas.
Uma delas respondeu:
N�o somos 100 meu caro gavi�o.
Seremos 100, n�s mais dois tantos de n�s
e mais voc� meu caro gavi�o.
Quantos pombos somos n�s?

Problema3: Tr�s homens desejam atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no m�ximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual ser� o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?

Problema4: Forme um quadrado m�gico com os d�gitos $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ tal que, a soma dos n�meros de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal seja sempre igual a 15. Dica: Colocar o 5 no meio.

Quais são os números naturais de 0 a 99?

Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos.

Quantos são os números naturais entre zero é 999?

do 10 ao 99, temos 90 números de 2 algarismos; logo, 180 algarismos; do 100 ao 999, temos 900 números de 3 algarismos; logo, 2 700 algarismos; do 1 000 ao 1 999, temos 1 000 números de 4 algarismos; logo, 4 000 algarismos; do 2 000 ao 2 007, temos 8 números de 4 algarismos; logo, 32 algarismos.

Quantos números existem de 0 a 99?

Para P2, a contagem convencional mostra, como fizemos em P1, que, de 1 a 99, há 189 algarismos e de 1 a 999 há 2 889 algarismos.

Quais são os números naturais?

Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.