Qual e a fração que representa o mesmo valor ou a mesma quantidade que outra?

Matem�tica Essencial

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Fra��es

Patr�cia E.Silva e Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Elementos Hist�ricos sobre fra��es
• 2 Introdu��o ao conceito de fra��o
• 3 Elementos gerais para a constru��o de fra��es
• 4 Defini��o de fra��o
• 5 Leitura de fra��es
  • 5.1 Denominador � maior que 1 e menor que 10
  • 5.2 Denominador � maior que 10
  • 5.3 Denominador � m�ltiplo de 10
• 6 Tipos de fra��es
• 7 Propriedades fundamentais
• 8 A fra��o como uma classe de equival�ncia
• 9 N�mero Misto
• 10 Simplifica��o de Fra��es
• 11 Compara��o de duas fra��es
  • 11.1 Por redu��o ao mesmo denominador
  • 11.2 Os termos das fra��es s�o diferentes
  • 11.3 As fra��es possuem o mesmo numerador
• 12 Divis�o de fra��es

1 Elementos Hist�ricos sobre fra��es

H� \(3000\) antes de Cristo, ge�metras dos fara�s do Egito realizavam marca��o das terras que ficavam �s margens do rio Nilo, para a sua popula��o. Mas, no per�odo de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marca��es. Logo os propriet�rios das terras tinham que marc�-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marca��o com cordas, que seria uma esp�cie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas usavam cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto �, n�o cabia um n�mero inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de n�mero: o n�mero fracion�rio, onde eles utilizavam as fra��es.

2 Introdu��o ao conceito de fra��o

�s vezes, ao tentar partir algo em peda�os, como por exemplo, uma pizza, n�s a cortamos em partes que n�o s�o do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confus�o, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? � l�gico que algu�m sairia no preju�zo.

Pensemos neste exemplo: Dois irm�os foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam come�ar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um peda�o para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do peda�o? Eles discutiram e chegaram � seguinte conclus�o: Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

1. Voc� concorda com esta divis�o? Por qu�?
2. Como voc� poderia resolver esta situa��o para que todos comessem partes iguais?
3. O que acha da frase: Quem parte e reparte e n�o fica com a melhor parte, ou � bobo ou n�o tem arte.

3 Elementos gerais para a constru��o de fra��es

Para representar os elementos que n�o s�o tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matem�tico denominado fra��o.

O conjunto dos n�meros naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes n�o, tendo em vista que zero foi um n�mero criado para dar sentido nulo a algo. Assim, o conjunto \(N\) ser� representado por:

\[N=\{1,2,3,4,5,6,7,...\}\]

Logo, todos os n�meros naturais representam partes inteiras.

Os n�meros que n�o representam partes inteiras, mas que s�o partes de inteiros, constituem os n�meros racionais n�o-negativos, aqui representados por \(Q_{+}\), onde esta letra \(Q\) significa quociente ou divis�o de dois n�meros inteiros naturais.

\[Q_+ = \{0,...,\frac14,...,\frac12,...,1,...,2,...\}\]

Numeral: Relativo a n�mero ou indicativo de n�mero.

N�mero: Palavra ou s�mbolo que expressa quantidade.

4 Defini��o de fra��o

Os numerais que representam n�meros racionais n�o-negativos s�o as fra��es, que s�o formas matem�ticas onde aparece um n�mero que fica em cima de um tra�o (numerador) e outro n�mero que fica embaixo do mesmo tra�o (denominador).

\[\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\]

Quando o denominador � um n�mero natural, o numerador indica quantas partes s�o tomadas do denominador, sendo que o denominador indica em quantas partes o n�mero inteiro foi dividido.

Nota: A linguagem HTML n�o proporciona ainda um m�todo simples para implementar a barra de fra��o, raz�o pela qual, �s vezes usamos a barra \(/\) ou mesmo o sinal \(\div\), para entender a divis�o de dois n�meros.

Exemplo: A fra��o \(1/4\), que pode ser escrita como:

\[\frac14\]

Em linguagem matem�tica, as frac�es podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como \(1/4\), considerada mais comum.

\[1= \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/4} & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ \hline \end{array}\]

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fra��o pode ser visualizada atrav�s da figura anexada, sendo que ficou em cor vermelha uma dessas partes.

5 Leitura de fra��es

Em todos os casos, consideramos a fra��o na forma \(1/d=\frac{1}{d}\).

5.1 Denominador � maior que 1 e menor que 10

• \(1/2\) um meio;
• \(1/3\) um ter�o;
• \(1/4\) um quarto;
• \(1/5\) um quinto;
• \(1/6\) um sexto;
• \(1/7\) um s�timo;
• \(1/8\) um oitavo;
• \(1/9\) um nono.

5.2 Denominador � maior que 10

Em geral, lemos: 1, o denominador e a palavra avos.

Avos � um substantivo masculino usado na leitura das fra��es, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador � maior do que dez.

Nota: N�o existe h� explica��o clara sobre a palavra avos, mas esta palavra pode ter aparecido na sequ�ncia: \(1/2, 1/4, 1/8\) e a �ltima fra��o pode ser lida como algo em Latim: 1 octavos como uma variante de: 1 octo avos.

• \(1/11\) um onze avos;
• \(1/12\) um doze avos;
• \(1/13\) um treze avos;
• \(1/14\) um quatorze avos;
• \(1/15\) um quinze avos;
• \(1/16\) um dezesseis avos;
• \(1/17\) um dezessete avos;
• \(1/18\) um dezoito avos;
• \(1/19\) um dezenove avos.

5.3 Denominador � m�ltiplo de 10

• \(1/10\) um dez avos ou um d�cimo;
• \(1/20\) um vinte avos ou um vig�simo;
• \(1/30\) um trinta avos ou um trig�simo;
• \(1/40\) um quarenta avos ou um quadrag�simo;
• \(1/50\) um cinquenta avos ou um quinquag�simo;
• \(1/60\) um sessenta avos ou um sexag�simo;
• \(1/70\) um setenta avos ou septuag�simo;
• \(1/80\) um oitenta avos ou um octag�simo;
• \(1/90\) um noventa avos ou um nonag�simo;
• \(1/100\) um cem avos ou um cent�simo;
• \(1/1000\) um mil avos ou um mil�simo;
• \(1/10000\) um dez mil avos ou um d�cimo mil�simo;
• \(1/100000\) um cem mil avos ou um cent�simo mil�simo;
• \(1/1000000\) um milh�o avos ou um milion�simo.

Nota: A fra��o \(1/3597\) pode ser lida como: um, tr�s mil quinhentos e noventa e sete avos.

6 Tipos de fra��es

A representa��o gr�fica mostra a fra��o \(3/4\) que � uma fra��o cujo numerador � um n�mero natural menor do que o denominador.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/4} & \color{red}{1/4} & \color{red}{1/4} & 1/4 \\ \hline \end{array}\]

A fra��o cujo numerador � menor que o denominador, isto �, a parte � tomada dentro do inteiro, � uma fra��o pr�pria. A fra��o cujo numerador � maior do que o denominador, isto �, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais � uma fra��o impr�pria. Por exemplo:

\[\frac53 = \frac33 + \frac23 = 1+\frac23\]

\[3/3=\begin{array}{|c|c|c|} \hline \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} \\ \hline \end{array}\]

\[2/3=\begin{array}{|c|c|c|} \hline \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} & 1/3 \\ \hline \end{array}\]

Fra��o aparente: � aquela cujo numerador � um m�ltiplo do denominador e aparenta ser uma fra��o mas n�o �, pois representa um n�mero inteiro.

Como um caso particular, o zero � m�ltiplo de todo n�mero inteiro, assim as fra��es \(0/3\), \(0/8\), \(15/3\) s�o aparentes, pois s�o n�meros inteiros.

Fra��es Equivalentes: S�o as que representam a mesma parte do inteiro. Multiplicando os termos (numerador e denominador) de uma fra��o sucessivamente pelos n�meros naturais, obtemos um conjunto infinito de fra��es que constitui um conjunto conhecido como a classe de equival�ncia da fra��o dada.

\[\,\;1\;\;= \begin{array}{|c|} \hline \;\quad\qquad\qquad\qquad\qquad 1 \;\,\quad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \hline \end{array}\] \[1/2= \begin{array}{|c|c|} \hline \qquad\quad\;\;\, \color{red}{1/2} \qquad\quad\;\;\; & \qquad\quad\;\;\; 1/2 \qquad\quad\;\;\, \\ \hline \end{array}\] \[2/4= \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \quad\; \color{red}{1/4} \quad\; & \quad\, \color{red}{1/4} \quad\; & \quad\; 1/4 \quad\; & \quad\, 1/4 \quad\; \\ \hline \end{array}\] \[3/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\;\, 1/6 & \;\; 1/6 \; & \;\;\, 1/6 \; \\ \hline \end{array}\] \[4/8= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\]

7 Propriedades fundamentais

1. Multiplicando os termos (numerador e denominador) de uma fra��o pelo mesmo n�mero natural, obtemos uma fra��o equivalente � fra��o dada:

\[\frac12 = \frac{1{\times}2}{2{\times}2} = \frac24\]

1. Quando podemos dividir os termos (numerador e denominador) de uma fra��o pelo mesmo n�mero natural, obtemos uma fra��o equivalente � fra��o dada:

\[\frac{12}{16} = \frac{12�2}{16�2} = \frac{6}{8} = \frac{6�2}{8�2} = \frac34\]

8 A fra��o como uma classe de equival�ncia

A classe de equival�ncia de uma fra��o � o conjunto de todas as fra��es equivalentes � fra��o dada. Ao inv�s de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fra��o mais simples deste conjunto que ser� a representante desta classe. Esta fra��o recebe o nome de n�mero racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das fra��es equivalentes a \(1/3\), como:

\[C\left(\frac13\right)=\left\{\frac13,\frac26,\frac39,\frac4{12}, \frac5{15},\frac{6}{18},...\right\}\]

9 N�mero Misto

Quando o numerador de uma fra��o � maior que o denominador, podemos realizar uma opera��o de decomposi��o desta fra��o em uma parte inteira e uma parte fracion�ria e o resultado � denominado n�mero misto. Transforma��o de uma fra��o impr�pria em um n�mero misto

\[\frac{17}4=\frac{16+1}4 = \frac{16}{4} + \frac14 = 4 + \frac14 = 4\frac14\]

Transforma��o de um n�mero misto em uma fra��o impr�pria

\[4\frac14 = 4 + \frac14 = \frac{16}4 + \frac14 = \frac{17}4\]

10 Simplifica��o de Fra��es

Simplificar fra��es � o mesmo que escrev�-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais f�cil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fra��o e tornar a mesma uma fra��o irredut�vel, isto �, uma fra��o para a qual o M�ximo Divisor Comum entre o numerador e o denominador seja 1, ou seja, o numerador e o denominador devem ser primos entre si. Tal simplifica��o pode ser feita atrav�s de divis�o sucessiva e pela fatora��o.

A divis�o sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fra��o por um mesmo n�mero (fator comum ) at� que ela se torne irredut�vel.

\[\frac{36}{60}=\frac{36�2}{60�2}=\frac{18}{30} =\frac{18�2}{30�2}=\frac{9}{15}=\frac{9�3}{15�3}=\frac35\]

Respectivamente, dividimos os termos das fra��es por \(2\), \(2\) e \(3\).

Nota: Outro modo para dividir fra��es � obter o M�ximo Divisor Comum (MDC) entre os termos da fra��o e simplificar a fra��o diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificamos a fra��o \(\frac{54}{72}\) usando o M�ximo Divisor Comum. Como \(MDC(54,72)=18\), ent�o

\[\frac{54}{72} = \frac{54�18}{72�18} = \frac34\]

11 Compara��o de duas fra��es

11.1 Por redu��o ao mesmo denominador

Se duas fra��es possuem denominadores iguais, a maior fra��o � a que possui maior numerador. Por exemplo:

\[\frac35 < \frac45\]

11.2 Os termos das fra��es s�o diferentes

Reduzimos ambas as fra��es a um mesmo denominador e o processo depende do c�lculo do M�nimo M�ltiplo Comum (MMC) entre os dois denominadores que � o denominador comum �s duas fra��es. Na sequ�ncia, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fra��o e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as fra��es \(\frac23\) e \(\frac35\). Como os denominadores s�o \(3\) e \(5\), temos que \(MMC(3,5)=15\). Reduzindo ambas as fra��es ao mesmo denominador comum \(15\), aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fra��o e na sequ�ncia multiplica-se esse respectivo n�mero pelo numerador.

\[\frac23 \quad ? \quad \frac35\]

Multiplicando os termos da primeira fra��o por \(5\) e multiplicando os termos da segunda fra��o por \(3\) obtemos:

\[\frac23 = \frac{2{\times}5}{3{\times}5} \quad ? \quad \frac{3{\times}3}{5{\times}3} = \frac35\]

Temos ent�o os mesmos denominadores, logo:

\[\frac23 = \frac{10}{15} \quad ? \quad \frac{9}{15} = \frac35\]

e podemos garantir que

\[\frac23 = \frac{10}{15} > \frac{9}{15} = \frac35\]

11.3 As fra��es possuem o mesmo numerador

Se os numeradores das fra��es s�o iguais, a fra��o maior � a que tem o denominador menor.

Exemplo: Uma representa��o gr�fica para a desigualdade

\[\frac34 > \frac38\]

que � igual a

\[\frac68 > \frac38\]

pode ser dada geometricamente por:

\[\frac68= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\] \[\frac38= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\]

A �rea marcada em \(\color{red}{vermelho}\) � maior na primeira figura, assim

\[\frac34 = \frac68 > \frac38\]

12 Divis�o de fra��es

Consideremos inicialmente uma divis�o \(D\) de duas fra��es, denotada por:

\[D = \frac12 \div \frac23\]

Um modo f�cil para explicar esta divis�o � tomar as duas fra��es com o mesmo denominador e realizar a divis�o do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto �:

\[D = \frac12 \div \frac23 = \frac36 \div \frac46\]

pois \(1/2=3/6\) e \(2/3=4/6\). O desenho abaixo mostra as fra��es \(1/2\) e \(2/3\), atrav�s de suas formas equivalentes: \(3/6\) e \(4/6\).

\[1/2=3/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}\] \[2/3=4/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}\]

Realizar a divis�o entre dois n�meros fracion�rios ou n�o fracion�rios, \(A\) e \(B\), � o mesmo que procurar saber quantas partes de \(B\) est�o ocupadas por \(A\). Quantas partes da fra��o \(4/6\) est�o ocupadas pela fra��o \(3/6\)?

Nas figuras, os numeradores das fra��es est�o em cor vermelha. Como temos 3 partes em vermelho na primeira fra��o e 4 partes em vermelho na segunda fra��o, a divis�o corresponde � fra��o \(\frac34\), ou seja, em cada 4 partes vermelhas, 3 est�o ocupadas.

Este argumento justifica a divis�o de duas fra��es pela multiplica��o da primeira fra��o pelo inverso da segunda fra��o e observamos que de fato isto funciona neste caso:

\[D=\frac12 \div \frac23 = \frac36 {\times} \frac64 = \frac{18}{24} =\frac34\]

Na verdade, h� um tratamento mais geral deste caso particular. A divis�o de um n�mero real \(\frac{a}{b}\) pelo n�mero real \(\frac{c}{d}\) �, a multiplica��o do n�mero \(\frac{a}{b}\) pelo inverso de \(\frac{c}{d}\). Mas, o inverso de \(\frac{c}{d}\) � a fra��o \(\frac{d}{c}\), assim:

\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a{\times}d}{b{\times}c}\]

Qual e a fração que representa o mesmo valor ou a mesma quantidade que outra?

Qual e a fração que representa a mesma quantidade?

Quando uma fração e igual à outra?

O que e uma fração de quantidade?