Qual o polígono convexo cujo o número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
      2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
      2

D = 4·1
      2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5·2
      2

D = 10
      2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
      2

D = 25·22
     2

D = 25·11

D = 275

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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
POLO BELO HORIZONTE – MG 
2020 
 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
PORTFÓLIO DO CICLO II DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
 
 Trabalho apresentado ao 
Centro Universitário Claretiano 
para a disciplina de Geometria 
Plana e Espacial, ministrada 
pela Tutora: Beatriz Consuelo 
Kuroishi Mello Santos. 
 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de atividades 
relativas ao Ciclo II da disciplina Geometria plana e Espacial. 
 Abordarei questões relacionadas a polígonos, circunferência, seme-
lhança de triângulos e polígonos regulares. Para ilustração utilizarei figuras ma-
nuais e imagens feitas no Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Qual é o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? 
O número de diagonais de um polígono convexo é determinado pela seguinte fórmula: 
𝑑 =
𝑛(𝑛−3)
2
 
Número de diagonais = d número de lados = n 
se o número de diagonais é o dobro do número de lados, então d = 2n 
2𝑛 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
2𝑛 =
𝑛2 − 3𝑛
2
 
2 ∙ 2𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛 igualando a zero 
𝑛2 − 3𝑛 − 4𝑛 = 0 
𝑛2 − 7𝑛 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
= 
−(−7) ± √(−7)2 − 4 ∙ 1 ∙ 0
2 ∙ 1
=
7 ± √49
2
=
7 ± 7
2
 
𝑥1 =
7−7
2
= 
0
2
= 0 (impossível, pois não existem polígonos de zero lados) 
𝑥2 =
7+7
2
= 
14
2
= 7 raiz real: x= 7 
Confirmando a resposta: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
=
7(7 − 3)
2
= 
49 − 21
2
=
28
2
= 14 
 
Resposta: O polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados 
é o heptágono regular (7 lados) que possui 14 diagonais. O heptágono é o único polí-
gono cujas diagonais equivalem aos lados em número. 
 
2) Em um retângulo o perímetro mede 24 cm e a medida de um lado excede em 4 cm 
o triplo da medida do outro lado. Determine as medidas dos lados desse retângulo. 
Como temos um retângulo, com 4 ângulos retos, podemos assumir que 2 dos lados 
são equivalentes, e outros dois também o são. Então, o perímetro é: P=2a+2b, sendo 
'a' e 'b' os lados diferentes do retângulo. 
Medida do lado a excede em 4 cm o triplo da medida do lado b. Portanto, a = 3b + 4 
Substituindo o valor de a na fórmula de perímetro, temos: 
2a + 2b = 24 
2(3b + 4) + 2b = 24 
6b + 8 + 2b = 24 
8b = 16 
b = 
16
8
 
b = 2 
2a + 2b = 24 
2a +2(2) = 24 
2a = 20 
a =
20
2
 
a = 10 
Para confirmar que a é o triplo da medida do outro lado, excedendo 4 cm, basta subs-
tituir o valor da aresta b em a, temos: 
a = 3b + 4 = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 
Resposta: o lado menor mede 2 cm e o lado maior mede 10 cm. 
 
 
3) Em um trapézio retângulo, a bissetriz do ângulo reto da base maior forma um ângulo 
de 115° com a bissetriz do ângulo agudo da base maior. Calcule a medida do maior 
ângulo do trapézio. 
Considerando os ângulos da base menor: 
O ângulo agudo y =180o – 115o = 65o. 
Do triangulo 45o + 65o + x =180oÛ 
X = 115o +45o +
𝑦
2
 = 180o 
𝑦
2
= 180 − 160 
𝑦
2
= 20 
y = 40o 
se a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o, temos: 
90o + 90o + 40o + x = 360o 
220o + x = 360o 
X = 140o 
Resposta: O maior ângulo do trapézio mede 140o. 
 
 
4) Calcule o raio da circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 2 cm e 
8 cm. 
O Teorema de Pitot diz que “um quadrilátero é circunscritível (os quatro lados são 
tangentes ao círculo) se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais”. Como 
a soma dos dois lados opostos é igual, então a soma dos outros dois é 10 cm: 
 AB+ CD= AD+ BC 
2+8 = x + x 
10 = 2x 
x = 
10
2
= 5𝑐𝑚. ( o lado AD e o lado BC medem 5 cm cada) 
 
Entre a base menor e a maior há 6cm de diferença (8 – 2), distribuindo esse valor na 
base maior temos 
6
2
= 3𝑐𝑚 em cada canto, ou seja a base maior mede 3 + 2 +3 = 
8cm. Assim é formado, em cada lateral, um triângulo de medidas 5, 3 e h(altura). 
Como a soma dos catetos ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado(Teorema 
de Pitágoras): 
52 = 32 + ℎ2 
25 = 9 + ℎ2 
ℎ2 = 16 
ℎ = √16 = 4 
 
A altura(h) do trapézio é igual ao diâmetro(d) da circunferência, h=d. O diâmetro tem 
o dobro do valor do raio. Então o raio é a metade, ou seja, d=2r: 
ℎ = 2𝑟 
4 = 2𝑟 
 
4
2
= 𝑟 
𝑟 = 2𝑐𝑚 . 
 
Resposta: O raio da circunferência inscrita no trapézio mede 2 cm. 
 
5) Um ponto P está fora de uma circunferência, a 13 cm do centro. Uma secante tra-
çada a partir de P intercepta a circunferência nos pontos Q e R, de forma que o seg-
mento externo PQ mede 9 cm e o segmento interno QR mede 7 cm. Qual é o raio da 
circunferência? 
1a opção de resolução: Potência de um ponto 
PQ. PR = PB. PA 
9(9+7)=(13-r). (13 - r + 2r) 
144 = (13 – r).(13 + r) 
144 = 169 + 13𝑟 − 13𝑟 − 𝑟2 
−𝑟2 = −25 ×(-1) 
𝑟 = √25 = 5 
 
2a opção de resolução: M = Ponto Médio da corda qr qr: (altura) 
h: Menor distância entre o centro 0 e a corda r: raio da circunferência 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
132 = (9 +
7
2
)2 + ℎ2 
132 = (
25
2
)2 + ℎ2 
169 =
625
4
+ ℎ2 
ℎ2 = 169 −
625
4
 
ℎ2 =
51
4
cm 
ℎ = √
51
4
=
√51
2
 cm 
𝑟2 =
51
4
+
49
4
=
100
4
= 25 
𝑟 = √25 = 5 cm 
Resposta : O raio da circunferência mede 5 cm. 
 
6) Na figura a seguir, sabendo-se que os ângulos A e E são ângulos retos e que a 
medida dos segmentos AC = 12 cm, BE = 15 cm e AB = 20 cm, qual é a área do 
quadrilátero ACED? 
Nesta figura há dois triângulos retângulos: ABC e BDE. Os triângulos ABC e BDE são 
semelhantes, então podemos aplicar o Teorema de Tales da seguinte forma: 
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐸𝐵
𝐸𝐷
 
20
12
=
15
𝐸𝐷
 
20 ED = 12∙15 
20 ED =180 
ED = 9 cm 
Como temos que a área do quadrilátero é a área do triângulo ABC menos a área do 
triângulo BDE, e sabendo que a base de ABC vale 20 cm e sua altura vale 12 cm, e a 
base de BDE vale 15 cm e sua altura vale 9 cm, temos que: 
Área ABC = 
𝑏∙ℎ
2
=
20∙12
2
=
240
2
= 120 𝑐𝑚2 
Área BDE = 
𝑏∙ℎ
2
=
15∙9
2
=
135
2
= 67,5 𝑐𝑚2 
Área do quadrilátero = 120 – 67,5 = 52,5 𝑐𝑚2. 
Resposta: A área do quadrilátero ACED é 52,5 𝑐𝑚2.

Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é igual?

Qual é o polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de vértices?

Quais são as diagonais de um polígono convexo?