Como resolver expressões numéricas com raiz quadrada

Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2.

Qual a ordem de resolver as expressões numéricas?

• Expliquei sobre a ordem de resolver as expressões, quais são as operações que devem ser resolvidas primeiro e qual é a ordem dos separadores. A introdução da fração nas expressões numéricas não altera a ordem de execução das operações e dos separadores. A fração é apenas um número como qualquer outro da expressão numérica.

Como os números decimais serão convertidos em frações?

• Caso números decimais sejam inseridos, eles serão automaticamente convertidos em frações.Os números decimais periódicos devem ser introduzidos indicando o período entre parênteses. Por exemplo: 0.58 (3) ou 0,58 (3) se tornará 7/12.

Por que as frações representam a mesma quantidade?

• 14 14% Agora, observe que na figura ao lado, as frações são equivalentes, ou seja, representam a mesma quantidade[comparando círculo com círculo e quadrado com quadrado].

Quais as equivalências de uma fração?

• Vale observar algumas equivalências, pois uma determinada fração pode ser escrita de muitas formas: 1 12 12 4 5 5 5     4 3 12 12 0 1 0 0  14 14%

Expressões numéricas são conjuntos de números que sofrem operações matemáticas com uma ordem de operações preestabelecida. Para que você aprenda a resolvê-las, primeiramente, destacaremos a prioridade que as operações matemáticas possuem.

Ordem das operações

As operações matemáticas estudadas no Ensino Fundamental são: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A ordem em que elas devem ser resolvidas em uma expressão numérica é a seguinte:

→ Potenciação e radiciação

Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade.

→ Multiplicação e divisão

Em segundo lugar, quando não houver mais potências ou raízes, devem ser feitas as multiplicações e divisões. Entre essas duas, também não há prioridade. Realize aquela que aparecer primeiro ou que facilitará os cálculos.

→ Adição e subtração

Por último, realize as somas e diferenças. Também não há prioridade entre elas. Resolva-as na ordem em que aparecerem.

Ordem entre colchetes, chaves e parênteses

Em algumas expressões numéricas, uma parte da expressão pode ter prioridade em relação às outras. Essa parte deve ser separada com parênteses, chaves e/ou colchetes. A prioridade em que as operações devem ser feitas é a seguinte:

→ Parênteses

Em primeiro lugar, devem ser feitas todas as operações que estiverem dentro dos parênteses. Se houver muitas operações, a ordem que deve ser seguida é a das operações, dada anteriormente.

→ Colchetes

Em segundo lugar, as operações que estiverem dentro de colchetes deverão ser feitas também de acordo com a ordem das operações dada anteriormente.

Lembre-se apenas de que os parênteses aparecem sozinhos ou dentro de colchetes. Nesse caso, quando sobrar apenas um número dentro dos parênteses, estes podem ser eliminados.

→ Chaves

Por último, as operações dentro de chaves também devem ser realizadas de acordo com a ordem das operações.

Exemplo:

{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Observe que existem dois parênteses dentro de colchetes. Qualquer um dos dois pode ser feito primeiro ou ambos podem ser realizados ao mesmo tempo, desde que não se misturem os cálculos para cada um. Faremos na ordem em que aparecem. Isso é o mais indicado a ser feito.

Assim, para os primeiros parênteses, faremos a potência; depois, a divisão e, por fim, a subtração:

{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(7 – 100:100) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(7 – 1) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [(6) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Nesse caso, os parênteses podem ser eliminados.

{15 + [6 + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

Agora os parênteses seguintes. Primeiro, a raiz quadrada; depois, divisão e subtração.

{15 + [6 + (16:2 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + (8 – 4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + (4)]2 + 10}·3

{15 + [6 + 4]2 + 10}·3

Note que, dentro dos colchetes, sobrou apenas uma adição. Depois de realizá-la, o número que sobrar deverá ser elevado ao quadrado. Assim, obteremos:

{15 + [10]2 + 10}·3

{15 + 100 + 10}·3

Agora, falta apenas realizar os cálculos dentro das chaves e multiplicar o resultado por 3:

{15 + 100 + 10}·3

125·3

375

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Conhecemos como expressões numéricas um conjunto de operações fundamentais a serem calculadas. São operações fundamentais:

• adição
• subtração
• multiplicação
• divisão
• potenciação 
• radiciação

Expressões numéricas são bastante comuns no dia a dia, pois, em muitos problemas, há a necessidade de se calcular o valor de uma expressão numérica. Além das operações, uma expressão numérica pode conter símbolos que mostram a ordem de prioridade, são eles:

• parênteses ( )
• colchetes [ ]
• chaves { }

Leia também: Como identificar se um número é par ou ímpar? 

Ordem das operações

Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 

Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.

Na ausência de multiplicação e divisão na expressão numérica, calculamos, então, a adição e a subtração dos termos. Caso exista as duas operações, calculamo-las na ordem em que aparecerem até encontrarmos um resultado final.

Exemplo:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

Primeiramente calcularemos a radiciação e a potenciação:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

Como não há mais nenhuma potenciação nem radiciação, calcularemos a multiplicação e a divisão:

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

5 + 6 – 2  – 1 + 9

Agora realizaremos as adições e subtrações na ordem em que elas parecem:

5 + 6 – 2 – 1 + 9

11 – 2 – 1 + 9

9  – 1 + 9

 8 + 9

17

Veja também: Critérios de divisibilidade – ferramentas utilizadas a fim de facilitar o cálculo de divisão

Uso dos símbolos nas expressões numéricas

Além das operações em si, é bastante comum também a utilização de símbolos para mostrar a ordem de prioridade em que devemos fazê-las. São eles os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.

Nesse caso precisamos nos atentar, primeiro, à ordem de prioridade desses símbolos para, depois, atentar-nos à ordem de prioridade das operações que estão entre esses símbolos. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo:

• primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
• depois, as operações que estão entre colchetes; 
• por fim, as operações que estão entre chaves.

Operações que estão sendo realizadas entre parênteses, por exemplo, respeitam sempre a ordem das operações, então, ao resolver uma expressão numérica, buscamos eliminar os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves, nessa ordem.

Passo a passo para resolver expressões numéricas

Exemplo:

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

{[5 – 2 + 9] : 4}²

{[3 + 9] : 4}²

{12 : 4}²

Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:

{12 : 4}²

3²

Por fim, só nos resta calcular a potência:

3²

9

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o resultado da expressão: 20 ÷ {√4 · [-9 + 17 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12

E) 13

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos eliminar o parêntese:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

Agora eliminaremos os colchetes:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-11]

20 ÷ {√4 · (-5)} + 11

Agora eliminaremos as chaves, respeitando a ordem de prioridade entre as operações:

20 ÷ {√4 ·(-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ (-10) + 11

Eliminando todos os símbolos, realizaremos, primeiro, a divisão e, depois, a adição:

20 ÷ (-10) + 11

-2 + 11

9

Questão 2 – Analisando as expressões:

I. [8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 II. [8 × (9 : 3 + 1)] + 2

III. {3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5

As expressões que têm como resultado zero são:

A) I, II e III B) somente I e II C) somente I e III D) somente II e III

E) Nenhuma delas

Resolução

Alternativa C

Resolvendo cada uma delas, temos que:

I.

[8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 [8 : (-16 + 18)] – √16 [8 : 2] – √16 4 – √16 4 – 4

0

II.

[8 × (9 : 3 + 1)] + 2 [8 × (3 + 1)] + 2 [8 × 4] + 2 32 + 2

34

III.

{3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5 {3² – [4 + (3 – 3)²]} – 5 {3² – [4 + 0²]} – 5 {3² – [4 + 0]} – 5 {3² – 4} – 5 {9 – 4} – 5 5 – 5

0