Matemática Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte: "Se f (x) = 0 tem apenas uma raiz no intervalo [a, b] e se nem f '(x) nem f "(x) se anulam nesse intervalo, escolhido x0 como aquele dos dois números a e b para o qual f (x) e f" (x) tem mesmo sinal, então: situa-se mais perto da raiz do que x0. Seja (Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo [a, b], a aproximação da raiz , f (p) = 0, x é a aproximação de p, tal que e , com .A derivada f '(x0) é a reta tangente da função no ponto x0. Se o ponto x0 está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se f '(x0) tende a zero.
Exemplo1: Aproximar √3 pelo Método de Newton, com precisão de ε = 1 x 10– 4. O erro E = |(ak)2 - n|. Como queremos encontrar uma aproximação para √3, fazemos: Logo: A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2. Desta forma, tomaremos como uma aproximação inicial x0 = 1,5. Como E = |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações: Como E = |1,7321428572 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações: Como E = |1,732050812 – 3| menor que 10– 4 paramos as iterações e tomamos x3 como uma raiz aproximada √3. Vimos como o algoritmo de Newton aproxima raízes, que melhoram a cada iteração. No entanto, o Método de Newton é muito mais eficaz quando se trata de raízes de funções. Veja mais: Método de Herão para aproximação de raiz quadradaMétodo Babilônico para aproximação de raiz quadrada Aproximação da raiz quadrada de um número n Zeros Reais de Funções Reais - Extraindo Uma Raiz Quadrada Por que alguém iria querer encontrar a raiz quadrada de um número sem usar uma calculadora? Certamente, ninguém faria tal coisa, exceto em casos extremos no qual não se tenha a mão uma calculadora. Apresentamos um método simples (trabalhoso sim,... - Mais Um Método Para Aproximar A Raiz Quadrada A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, ou o nosso celular ficou sem bateria, podemos usá-la sem medo. Vejamos: Onde, Q é o quadrado...- Zeros Reais De Funções Reais – O Método De Newton Raphson Resolvido No Excel Introdução:Sabemos que para alguns tipos de funções existem fórmulas fechadas que levam às raízes em função dos coeficientes, como por exemplo, as equações polinomiais de segundo grau. No entanto, no caso de um polinômio de grau mais alto...- Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N Introdução Os Babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números não-quadrados perfeitos, tais como 17/12 para aproximar , 17/24 para . Talvez eles usassem a fórmula de aproximação: Uma aproximação notável...- Método Babilônico Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N Matemática
Dado um inteiro N e um nível de tolerância L , a tarefa é encontrar a raiz quadrada desse número usando o Método de Newton .
Método de Newton:
Abordagem: as etapas a seguir podem ser seguidas para calcular a resposta:
Abaixo está a implementação da abordagem acima: |