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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Reta tangente Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017 O que eu preciso saber? Seja ƒ ( ) uma função qualquer e ( 1 ,y 1 ) um ponto de ƒ ( ) , então a equação dareta tangente a ƒ ( ) neste ponto será: t ( ) = ƒ ( 1 ) + ƒ ( 1 )( − 1 ) ( 1 ) Exemplo 1: Encontre a equação da reta tangente a função ƒ ( ) = 2 2 + 3 noponto (4, 35). Solução: ƒ ( ) = 4 ƒ ( 4 ) = 4 ( 4 ) = 16 Usando a formula (1) então a equação da reta tangente é: t = 35 + 16 ( − 4 ) t = 16 + 35 − 64 t = 16 − 29 Exemplo 2: Encontre a reta tangente à curva 2 + 4 y + y 2 = 13 no ponto (2, 1). Solução: A derivada implícita da curva em relação a será: 2 + 4 y + 4 dy d + 2 y dy d = 02 + 4 y + 2 dy d ( 2 + y ) = 0 ⇒ dy d = − + 2 y 2 + y 1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BAUsando novamente a fórmula (1) a equação da reta tangente a curva no ponto(2, 1) é: t = 1 − ( 2 ) + 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) + ( 1 ) · ( − 2 ) t = − 45 + 135 Exemplo 3: Ache a equação da tangente à parábola y = 2 se a tangente cortao eixo x no ponto 2. Solução: O gráfico a seguir ilustra o problema:2( 1 ,y 1 )No gráfico acima supomos a localização do ponto de tangência e chamamos ascoordenadas desse ponto de 1 e y 1 .Usando a fórmula (1) a equação da reta tangente é t ( ) = ƒ ( 1 ) + ƒ ( 1 )( − 1 ) Como a reta tangente passa pelo ponto (2, 0) então: t ( ) = ƒ ( 1 ) + ƒ ( 1 )( − 1 ) ⇒ 21 + 2 ( 1 )( 2 − 1 ) = 0 ⇒ 21 + 4 1 − 2 21 = 0 ⇒ 4 1 − 21 = 0 A equação acima é uma equação do segundo grau com duas soluções. Uma para 1 = 0 e outra para 1 = 4 .Pela figura fica evidente que a solução que foi suposta ocorre para 1 = 4 .2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BAAssim, a equação da reta tangente fica: t ( ) = ƒ ( 4 ) + ƒ ( 4 )( − 4 ) ⇒ t ( ) = 16 + 8 ( − 4 ) ⇒ t ( ) = 8 − 16 . Já para 1 = 0 teríamos t ( ) = 0 . Exemplo 4: Mostre que a tangente à parábola y = 2 , no ponto ( 0 ,y 0 ) diferentedo vértice, corta o eixo no ponto = 0 2 . Solução: Como não se sabe qual é exatamente o ponto de tangência vamos representaras suas coordenadas por ( 0 ,y 0 ). Assim, a equação da reta tangente nesse pontoseria: t ( ) = ƒ ( 0 ) + ƒ ( 0 )( − 0 ) Como ƒ ( 0 ) = 2 0 e ƒ ( 0 ) = 20 então: t ( ) = 20 + 2 0 ( − 0 ) Sabe-se que quando uma função qualquer corta o eixo seu valor é zero, sendoassim: t ( ) = 0 ⇒ 20 + 2 0 ( − 0 ) = 0 Finalmente, resolvendo a equação acima para chegamos á: = 12 0 Como se queria mostrar.3
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Equação da reta tangente Exercícios Resolvidos pdf
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