Divisão de polinômios possui diferentes métodos de resolução. Vamos apresentar três métodos para essa divisão: o método de Descartes (coeficientes a determinar), o método da chave e o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Leia mais: Equação polinomial: forma e como resolver Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (P > D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que: Note que esse processo é equivalente a escrever: P (x) → dividendo D (x) → divisor Q (x) → quociente R (x) → resto Das propriedades da potenciação, temos que o grau do quociente é igual à diferença entre os graus do dividendo e divisor. Q = P – D Ainda, quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero, dizemos que P (x) é divisível por D (x). Uma divisão de polinômios pode ser resolvida com diferentes métodos.Regras da divisão de polinômiosPara realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com grau de P maior que o grau de D, seguimos os passos: Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x); Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou R < D); Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x). Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto. O grau do quociente é 1, pois: Q = P – D Q = 3 – 2 Q = 1 Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do passo 3, temos: Comparando os coeficientes dos polinômios, temos: Logo, o polinômio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3. Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo a mesma ideia da divisão entre dois números, o chamado algoritmo da divisão. Veja o exemplo a seguir. Novamente vamos considerar os polinômios P (x) = 4x3 – x2 + 2 e D (x) = x2 + 1, e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave. Passo 1 - Completar o polinômio dividendo com coeficientes nulos, caso necessário. P (x) = 4x3 – x2 + 0x + 2 Passo 2 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por todo divisor. Veja: Passo 3 - Dividir o resto do passo 2 pelo quociente e repetir esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do quociente. Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3. Acesse também: Adição, subtração e multiplicação de polinômios Utilizado para dividir polinômios por binômios. Vamos considerar os polinômios: P (x) = 4x3 + 3 e D (x) = 2x + 1. Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além disso, repete-se o primeiro coeficiente. Veja: Perceba que o menor meio é a raiz do divisor e que o primeiro coeficiente foi divido. Agora, devemos multiplicar a raiz do divisor pelo termo repetido e somá-lo ao próximo, veja: O último número encontrado no dispositivo prático é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio quociente. Devemos dividir esses números pelo primeiro coeficiente do divisor, nesse caso por 2. Assim: Para saber mais sobre esse método de divisão de polinômios, acesse: divisão de polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Exercícios resolvidosQuestão1 (UFMG) O polinômio P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 é divisível por D (x) = 3x2 - 2x. O valor de m é: Solução Como o polinômio P é divisível por D, então podemos aplicar o algoritmo da divisão. Assim, Como foi dado que os polinômios são divisíveis, então o resto é igual a zero. Logo, Por Robson Luiz |