Retas perpendiculares são as que formam um ângulo de 90º ao se cruzarem. Essa definição é suficiente para a geometria plana, mas ao avançar para a geometria analítica, de coordenadas, é preciso definir ângulos e localizações. Utilizamos o símbolo para indicar que duas retas são perpendiculares e podemos identificá-las analisando a relação entre seus coeficientes angulares.A reta r de coeficiente angular m1 e a reta s de coeficiente angular m2, serão perpendiculares se: Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. Oposto de um número é quando seu sinal é trocado, inverso, é quando fazemos uma fração e colocamos esse número no denominador. Exemplo Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,4) e é perpendicular à reta r cuja equação é x - y -1 = 0. Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta r isolando y do lado esquerdo. y = x -1 Com a equação na forma reduzida, o coeficiente angular é o número que multiplica o x, portanto, = 1. Como s é perpendicular a reta r, vamos considerar a condição de perpendicularismo. Como s passa pelo ponto (1,4), podemos escrever:
Assim, a equação da reta s na forma geral, perpendicular a reta r e que passa pelo ponto P é:
Para saber mais, leia também Equação da Reta. Método PráticoQuando conhecemos as equações gerais de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares através dos coeficientes (a, b e c) de x e de y. Assim, dadas as retas: r: ar x + br y + cr = 0 e s: as x + bs y + cs = 0 Elas serão perpendiculares se:
Exemplo Reta r: -2x + y + 2 = 0 Reta s: x + 2y - 3 = 0 -2.1 + 1.2 = 0 Portanto, r⊥s (A reta r é perpendicular a reta s). DemonstraçãoPara chegar a essa condição, consideramos que a inclinação das retas r e s são respectivamente , conforme a figura abaixo: No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação: Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos: Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:
Usando as relações de soma de arcos: Sendo sen 90º = 1 e cos 90º = 0 e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:
Considerando
e que
temos:
Conforme queríamos demonstrar. Exercícios ResolvidosQuestão 1São dados os pontos A(3,4) e B(1,2). Determine a equação da mediatriz de .
A mediatriz é uma reta perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
Calculando o coeficiente angular da reta :
Como a mediatriz é perpendicular, temos: Assim, a equação da mediatriz será: y-3 = -1 (x-2) = x +y - 5 = 0 Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r de equação 3x + 2y - 4 = 0, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.
O coeficiente angular da reta r é mr = Quando a reta intersecta o eixo das abscissas, y = 0, assim 3x+2.0-4=0 x= O coeficiente angular da reta perpendicular, será:
Assim, a equação da reta perpendicular é: Para saber mais, leia também
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