No caderno escreva a raiz correspondente a potência de cada item e calcule o valor dela, em que

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².

Aluna(o): Thaciane Leticia Marques de Araujo.Serie: 8*ano “C”ATIVIDADE DE MATEMATICA (AULA 11)Pag: 301) constante essa propriedade para o quociente 105: 23. Registre no caderno.R= 103/2 = 5310:2= 52)No caderno reduza cada quociente a uma única potencia.a) 810 : 410R=810 : 410= (8/4)10 = 210b) (-6)3 : (+2)3R= (-6)3 : (+2)3 = (-6)3/23 = -33c) (1/2)4 : (2/3)4R= 3/164d) (2,5)5 : (0,5)5R= 553) Da ultima propriedade, podemos deduzir esta nova propriedade.Copie os itens no caderno elimine os parênteses e calcule o valor de cada potencia.a) (6/7)4R= (64/74) = 1296/ 2401b) (1/2)9R= (19/29) =1/512d) (-2/3)3R= (-23/33) = 8/274) Use as propriedade estudadas e, no caderno, reduza cada expressões a uma única potencia. a) (3⁷)⁴37X4 = 28 = 328B) 2⁹ : 2⁴R= 29-4 = 5 = 25 c) 5⁶ × 5⁴ R= 56 + 4 = 10 = 510d) 30⁵ : 15⁵ R= 450530 : 15= 450 e) 6⁴/2⁴R= (6/2)4 = 34 f) 9⁵ × 9× 3 R=9 = 3²( 3²)5 x ( 3² )¹ x ( 3 )¹2 x 5 = 102 x 1 = 2(3)10 x ( 3 )² x ( 3)¹( 3)10 +2 + 1 = 13 = ( 3)13g) 6¹⁰/6⁹ R= 610-9 = 1 = 61h) 3⁴ × 3⁷/ (3²)³R= 34+7=11 32x3=6 = 36(311)/(36) = 311-6=5 = 35i)7⁴ × 7² : 7R= 74 x 7² : 7¹74+2=6 = 7676 : 71 = 76-1=5 = 75j) 6³ × 5³R= (6x5)3= 303Pag: 411)No caderno, calcule o valor de cada raiz quadrada e, em sequida, indique a potenciação correspondente.a) √9 R= √9 = 32 = 9b) √25R= √25 = 52 = 25c) Raiz quadrada de 64.R= √64 = 82 = 64 d) √1,95 R= √1,95 = ( 1,4 )2 = 1,95e) √485/49R=√485/49 =( 22/7 )2 = 485/49f) Raiz quadrada de 1.R= √1= 1 12 =12) Uma região quadrada tem medida de área de 64m2 . Qual é a medida de comprimento do lado dela?R= A medida de comprimento do lado dela é 8.√64 = 8 3)No caderno, efetue a radiação ou a potenciação de cada item é indique a operação inversa correspondente.a) 3√8 = *R= 3√8 = 2 23 = 8b)54 = *R= 54 = 625 4√625 = 5 c) (-4)3 = *R= (-4)3 = -64 3√-64 = -4 d)6√64 = *R= 6√64 = 226 = 644) Esta figura poder ser utilizada para calcular o valor de qual raiz quadrada? Indique no caderno e calcule o valor.R= √225 = 55) Escreva no caderno a sequencia dos 10 primeiros números positivos que são quadrados perfeitos depois, extraia a raiz quadrada de cada um deles.(1,4,9,16,25,...)√1=1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36=6, √49 =7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10.6) raiz quadrada e fluxograma. Observe este fluxo grama para o calculo da raiz quadrada de números de números natural, no conjunto IN dos números naturais.a)36R= sim, √36 = 6b)20R= não existe a raiz quadrada desse números natural.c)64R= sim, √64 = 8d)12R= não existe a raiz quadrada desse números natural.e) 49R= sim, √49 = 7f) 400R= sim, √400 =20.7) Uma sala de aula quadrada terá o piso coberto com ladrilhos com medida de comprimento dos lados de 60 cm.a) Qual e a medida de comprimento dos lados da sala sabendo que a medida de área dela e de 81m2 ?R= A medida de comprimento dos lados da sala é de 9m√81 = 9b)Quantos ladrilhos serão necessários para cobrir o piso?81/0,60 x 0,60 = 2258) A cozinha de Pedro tem forma quadrada com medida de are a de 38 Faça tentativa e determine a medida aproximadamente do comprimento dos lados dessas cozinhas sabendo que essa medida estar entre 6m e 7 m.R= Lado x lado = AREALado² = AREALado² = 38m²lado = √38m²lado = 6.164414 aproximadolado = 6,16mPag: 43.1)No caderno, escreva a raiz correspondente á potencia de cada item e calcule o valor dela, em Q.a) 811/4 R= 4√811 = 4√92 =4 √34= 3b) (-32)⅕ R= 5√321 =5 √42 x 2 =5√25 = 2c) (0,001)⅓R= 3√0,001 = 3 √1/1000 = 3 √1/103 = 1/10d) 4⅔R= 2√43 =2 √26 = 23 = 8e)(-1)⅗R= 5√-13 = 5 √-1 x -1x -1 = 5√-1 =- 1f)1000⅔​R= 3√10002 = 3√106 = 102 =1002)Escreva no caderno cada raiz na forma de potencia. a)3 √1 000R= 103b) √36R= 62c)7√13R= 13/7d)3√82R= 82/3e) 6√05R= 05/6f)4 √16 R= 243) Escreva no caderno, a raiz 3√64 na forma de potencia:a) de base 64R= 64¹/³b)de base 2R= ∛64 = ∛(2⁶) = 2⁶/³c) de base 8R= ∛64 = ∛8² = 8²/³d) de base 4R=∛64 = ∛4³ = 4³/³ = 4¹ 4) No caderno escreva na forma de potencia de base 10 cada numero dadoa) 1 000 000R=105b)0,001R= 10-3c) 1/100R= 1/100 = 1 /102 = 10-2d) 3√10R= 101/3e) √1 000R= √103 = 103/2f) 5√0,01R= 5√0,01 = 5√10-2 = 10-2/55) Dertemine a medida de perimentro de cada região quadrada, dadas as medidas de área delas.a) 64 cm2642 b) 256 cm2 25626)calcule mentalmente o valor de cada raiz quadrada e registre no caderno. a) √144R= 12b) √1,44R= 1,2c) √81R= 9d) √0,81R= 0,97) copie e complete as igualdade no caderno.a)3 √125 = *R= 5b)3 √* = 4 R= 64c)4 √81= *R= 3d)4 √* = 2R= 16e)3 √27 000 = *R= 30f)3 √0,027 = *R= 0,3g) 6√* = 4R= 4 096h)3 √0,001 = *R= 0,18)calcule a medida de comprimento da aresta de cada cubo, dadas as medidas de volume deles.a)R= V = 125 = c³c = 3√125 = 5c = 5 cmb)R=V = 216 = c³c = 3√216 = 6c = 6 cm9)No caderno, determine o que se pede.a) A soma da raiz quadrada de 81 com a raiz cubica de 64.R= raíz de 81= 9raíz cúbica 64 = 44+9= 13b) A diferença entre a raiz cubica de 27 e a raiz quadrada de 4R= 3√27 - 43√33 - √223 – 21c)O quadrado da raiz quadrada de 81.R= 81d) O cubo da raiz cubica de 8.R= 810)O quadrado de um numero natural mais 2 e igual a 102. Qual e esse numero?R= 102 = 100 + 2=10211) O cubo de um números mais 5 e igual a 130. Qual e esse numero?R= x^3+5=130x^3=130-5x^3=125x=raiz cúbica de 125

x=5 (Pois 5 vezes 5 três vezes é 125)