O que é uma matriz

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Na álgebra linear, uma matriz é um quadro rectangular composto por números. Uma matriz costuma ser representada por uma letra maiúscula, tal como A, e tem um determinado número de linhas (m) e de colunas (n). Neste caso, representa-se por A m × n {\displaystyle A_{m\times n}}

Os termos individuais da Matriz A {\displaystyle A}

A i j {\displaystyle A_{ij}}

m a x [ i ] = m {\displaystyle max[i]=m}

m a x [ j ] = n {\displaystyle max[j]=n}

A ∗ B ≠ B ∗ A {\displaystyle A*B\neq B*A}

Introdução histórica

O primeiro nome dado às matrizes foi por Cauchy, tableau (em português, "tabela"), mas a denominação matriz veio com James Joseph Sylvester (1814–1897), em 1850. Seu significado coloquial: local onde algo se gera ou cria. Sylvester era um matemático respeitado na álgebra britânica, e foi na Universidade de Cambridge que ele conheceu o matemático inglês Arthur Cayley (1821–1895). Sylvester via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes, mas com Cayley elas passam a gradativamente mostrar sua importância.

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu com Lagrange que reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Concluímos que a Teoria das Matrizes teve como base a Teoria das Formas Quadráticas, porque seus métodos e resultados básicos foram lá gerados, mas atualmente o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.

No estudo da álgebra linear é possível perceber que as matrizes são mais do que objetos estáticos, que gravam informações e dados, na realidade elas representam funções que agem em vetores transformando-os em outros vetores.

Cada elemento de uma matriz é muitas vezes representado por uma variável com dois subscritos. A variável a2,1, por exemplo, representa o elemento da segunda linha e primeira coluna de uma matriz A.

Notação

Matrizes são normalmente escritas em colchetes ou parênteses:

A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) = ( a i j ) ∈ R m × n {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}=\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}}

Matrizes normalmente são denotadas com letras maiúsculas enquanto seus elementos são denotados por letras minúsculas. Além disso, podemos simbolizar matrizes com um estilo tipográfico especial, comumente em negrito em posição vertical não itálico, para distinguir ainda mais matrizes de outros objetos matemáticos.

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m {\displaystyle m}

n {\displaystyle n}

m × n {\displaystyle m\times n}

2 × 3 {\displaystyle 2\times 3}

A = [ 1 2 3 4 5 6 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}

Um elemento de uma matriz A {\displaystyle A} que está na i {\displaystyle i}

j {\displaystyle j}

i , j {\displaystyle i,j}

( i , j ) {\displaystyle (i,j)}

A . {\displaystyle A.}

a i j {\displaystyle a_{ij}}

a [ i , j ] {\displaystyle a[i,j]}

a 12 {\displaystyle a_{12}}

2 {\displaystyle 2}

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a i j = i + j , {\displaystyle a_{ij}=i+j,}

A = [ 2 3 3 4 4 5 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{bmatrix}},}

3 × 2. {\displaystyle 3\times 2.}

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a ( 1 , 1 ) {\displaystyle a(1,1)}

a [ 0 ] [ 0 ] {\displaystyle a[0][0]}

Classificação

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando m = n {\displaystyle m=n}

n × n {\displaystyle n\times n}

i = j {\displaystyle i=j}

1 {\displaystyle 1}

[ 1 3 7 1 0 0 4 2 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&7\\1&0&0\\4&2&2\end{bmatrix}}}

Matriz diagonal

Uma matriz diagonal é definida como uma matriz quadrada onde todos os elementos cujo i ≠ j {\displaystyle i\neq j}

A = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 2 ] ; B = [ 4 0 0 0 3 0 0 0 12 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{bmatrix}};B={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&3&0\\0&0&12\end{bmatrix}}}

Matriz escalar

Um múltiplo escalar não nulo de uma matriz identidade é chamado de matriz escalar. Se as entradas da matriz vêm de um corpo, as matrizes escalares formam um grupo, sob a multiplicação matricial, que é isomorfo ao grupo multiplicativo dos elementos não nulos do corpo. A = 2 ⋅ I 3 = [ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ] . {\displaystyle A=2\cdot I_{3}={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}.}

Vetor

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n {\displaystyle 1\times n}

m × 1 {\displaystyle m\times 1}

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

Tipo de matriz	é quadrada?	Tem inversa?	Qual é sua transposta?	Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade I n {\displaystyle I_{n}}	Sempre	Sim, ela mesma: I n {\displaystyle I_{n}}	Ela mesma, I n {\displaystyle I_{n}} (é uma matriz simétrica)	Sempre é positiva definida
Matriz inversa B − 1 {\displaystyle B^{-1}}	Sempre	Sim, e é igual à matriz original, B {\displaystyle B}	( B − 1 ) ⊺ {\displaystyle \left({B}^{-1}\right)^{\intercal }}	Positiva definida se B {\displaystyle B} for positiva definida
Matriz singular C {\displaystyle C}	Sempre	Nunca	C ⊺ {\displaystyle C^{\intercal }}
Matriz simétrica D {\displaystyle D}	Sempre	Não necessariamente	D ⊺ = D {\displaystyle D^{\intercal }=D}	Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D {\displaystyle D} forem negativos [1]
Matriz transposta E ⊺ {\displaystyle E^{\intercal }}	Não necessariamente	Não necessariamente	E {\displaystyle E}
Matriz positiva definida F {\displaystyle F}	Sempre	Sim, e F − 1 {\displaystyle F^{-1}} também é positiva definida	F ⊺ {\displaystyle F^{\intercal }}	Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida G {\displaystyle G}	Sempre	Sim, e G − 1 {\displaystyle G^{-1}} também é negativa definida[1]	G ⊺ {\displaystyle G^{\intercal }}	Sempre é negativa definida

Matriz identidade

A Matriz identidade I n {\displaystyle I_{n}} é a matriz quadrada n × n {\displaystyle n\times n} em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

I 2 = [ 1 0 0 1 ] . {\displaystyle I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz:

M I n = I m M = M , {\displaystyle MI_{n}=I_{m}M=M,}

para qualquer matriz M {\displaystyle M}

Matriz inversa

Uma matriz A − 1 {\displaystyle A^{-1}}

A , {\displaystyle A,}

A ⋅ A − 1 = A − 1 ⋅ A = I , {\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I,}

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A , {\displaystyle A,} a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação A − 1 = det ( A ) − 1 ⋅ adj ( A ) , {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ),}

Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} é a matriz A n × m ⊺ {\displaystyle A_{n\times m}^{\intercal }}

a i j ⊺ = a j i , {\displaystyle a_{ij}^{\intercal }=a_{ji},}

n , {\displaystyle n,}

n . {\displaystyle n.}

A = [ 1 2 3 4 5 6 ] , A ⊺ = [ 1 4 2 5 3 6 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},A^{\intercal }={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}.}

Matriz simétrica

Uma matriz A {\displaystyle A} é simétrica se A = A ⊺ . {\displaystyle A=A^{\intercal }.}

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja M {\displaystyle M} uma matriz quadrada de dimensão n × n {\displaystyle n\times n} e z {\displaystyle z}

n × 1. {\displaystyle n\times 1.}

n = 1 , {\displaystyle n=1,}

Tipo de matriz	Semi-definida	Definida
Positiva	M {\displaystyle M} positiva semidefinida se z ⊺ M z ≥ 0 , ∀ z ∈ R n {\displaystyle z^{\intercal }Mz\geq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}	M {\displaystyle M} é positiva definida se z ⊺ M z > 0 , ∀ z ∈ R n {\displaystyle z^{\intercal }Mz>0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}
Negativa	M {\displaystyle M} é negativa semidefinida se z ⊺ M z ≤ 0 , ∀ z ∈ R n {\displaystyle z^{\intercal }Mz\leq 0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}} [1]	M {\displaystyle M} é negativa definida se z ⊺ M z < 0 , ∀ z ∈ R n {\displaystyle z^{\intercal }Mz<0,\forall z\in \mathbb {R} ^{n}}

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação de um número real por uma matriz

A multiplicação de um número real por uma matriz é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k {\displaystyle k}

n × m {\displaystyle n\times m}

k . {\displaystyle k.}

b i j = k ⋅ a i j . {\displaystyle b_{ij}=k\cdot a_{ij}.}

Por exemplo:

2 [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 × 1 2 × 8 2 × − 3 2 × 4 2 × − 2 2 × 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] {\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} do tipo m {\displaystyle m} por n , {\displaystyle n,} sua soma A + B {\displaystyle A+B}

( A + B ) [ i , j ] = A [ i , j ] + B [ i , j ] . {\displaystyle (A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j].}

Por exemplo:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A − B , {\displaystyle A-B,}

A + B . {\displaystyle A+B.}

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em − A + B , {\displaystyle -A+B,}

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A {\displaystyle A} é uma matriz m {\displaystyle m} por n {\displaystyle n} e B {\displaystyle B} é uma matriz n {\displaystyle n} por p , {\displaystyle p,}

A B {\displaystyle AB}

p {\displaystyle p}

( A B ) [ i , j ] = A [ i , 1 ] B [ 1 , j ] + A [ i , 2 ] B [ 2 , j ] + . . . + A [ i , n ] B [ n , j ] {\displaystyle (AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}

para cada par i {\displaystyle i} e j . {\displaystyle j.}

Por exemplo:

[ 1 0 2 − 1 3 1 ] × [ 3 1 2 1 1 0 ] = [ ( 1 × 3 + 0 × 2 + 2 × 1 ) ( 1 × 1 + 0 × 1 + 2 × 0 ) ( − 1 × 3 + 3 × 2 + 1 × 1 ) ( − 1 × 1 + 3 × 1 + 1 × 0 ) ] = [ 5 1 4 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} tais que A B ≠ B A . {\displaystyle AB\not =BA.}

Propriedades

Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

( A ⋅ B ) ⊺ = B ⊺ ⋅ A ⊺ {\displaystyle (A\cdot B)^{\intercal }=B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }}

No caso de várias matrizes:

( A ⋅ B ⋅ C ⋅ … ⋅ N ) ⊺ = N ⊺ ⋅ … ⋅ B ⊺ ⋅ A ⊺ . {\displaystyle (A\cdot B\cdot C\cdot \ldots \cdot N)^{\intercal }=N^{\intercal }\cdot \ldots \cdot B^{\intercal }\cdot A^{\intercal }.}

Característica

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.[6]

Aplicação

As aplicações das matrizes são encontradas em todos os campos científicos.

Em física, são usadas em ramos como mecânica clássica, ótica, eletromagnetismo, mecânica quântica e eletrodinâmica quântica, além de serem essenciais na descrição do movimento de corpos rígidos.

Na teoria da probabilidade e estatística, podem ser utilizadas matrizes estocásticas que são usadas para descrever os conjuntos de probabilidades.

Em computação, as matrizes são usadas em algoritmos de rankeamento de páginas e, por exemplo, no método dos elementos finitos, em que se define um elemento e, através de matrizes, os elementos são reescritos e associados.

Além disso, as matrizes podem ser usadas em Cadeias de Markov, crescimento populacional, grafos, códigos coletores de erros, modelo quântico entre outros.

Exemplos

1) Calculando a matriz inversa:

A A − 1 = I {\displaystyle AA^{-1}=I}

O método algorítmico consiste primeiramente em expressar as matrizes A e I na forma de matriz ampliada.

A = [ 2 2 8 1 2 3 3 3 13 ] ; I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&2&8\\1&2&3\\3&3&13\end{bmatrix}};I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

A | I = ( 2 2 8 1 0 0 1 2 3 0 1 0 3 3 13 0 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&8&1&0&0\\1&2&3&0&1&0\\3&3&13&0&0&1\end{array}}\right)}

Após construída a matriz ampliada A | I {\displaystyle A|I}

I {\displaystyle I}

l 1   a   p r i m e i r a   l i n h a   , l 2   s e g u n d a   l i n h a   , l 3   t e r c e i r a   l i n h a . {\displaystyle l_{1}\ a\ primeira\ linha\ ,l_{2}\ segunda\ linha\ ,l_{3}\ terceira\ linha.}

Dividindo a l 1 {\displaystyle l_{1}}

A | I = ( 2 2 2 2 8 2 1 2 0 2 0 2 1 2 3 0 1 0 3 3 13 0 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {2}{2}}&{\frac {2}{2}}&{\frac {8}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {0}{2}}&{\frac {0}{2}}\\1&2&3&0&1&0\\3&3&13&0&0&1\end{array}}\right)}

A | I = ( 1 1 4 1 2 0 0 1 2 3 0 1 0 3 3 13 0 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&4&{\frac {1}{2}}&0&0\\1&2&3&0&1&0\\3&3&13&0&0&1\end{array}}\right)}

Agora somando − l 1 {\displaystyle -l_{1}}

l 2 {\displaystyle l_{2}}

− 3 l 1 {\displaystyle -3l_{1}}

l 3 {\displaystyle l_{3}}

A | I = ( 1 1 4 1 2 0 0 1 − 1 2 − 1 3 − 4 0 − 1 2 1 0 3 − 3 3 − 3 13 − 12 0 − 3 2 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&4&{\frac {1}{2}}&0&0\\1-1&2-1&3-4&0-{\frac {1}{2}}&1&0\\3-3&3-3&13-12&0-{\frac {3}{2}}&0&1\end{array}}\right)}

A | I = ( 1 1 4 1 2 0 0 0 1 − 1 − 1 2 1 0 0 0 1 − 3 2 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&4&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&1&-1&-{\frac {1}{2}}&1&0\\0&0&1&-{\frac {3}{2}}&0&1\end{array}}\right)}

Somando l 3 {\displaystyle l_{3}} em l 2 {\displaystyle l_{2}} e − 4 l 3 {\displaystyle -4l_{3}}

A | I = ( 1 1 0 13 2 0 − 4 0 1 0 − 4 2 1 1 0 0 1 − 3 2 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&{\frac {13}{2}}&0&-4\\0&1&0&-{\frac {4}{2}}&1&1\\0&0&1&-{\frac {3}{2}}&0&1\end{array}}\right)}

Somando − l 2 {\displaystyle -l_{2}}

A | I = ( 1 0 0 17 2 − 1 − 5 0 1 0 − 2 1 1 0 0 1 − 3 2 0 1 ) {\displaystyle A|I=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&{\frac {17}{2}}&-1&-5\\0&1&0&-2&1&1\\0&0&1&-{\frac {3}{2}}&0&1\end{array}}\right)}

Neste momento a matriz à direita é a matriz inversa de A {\displaystyle A} .

A − 1 = [ 17 2 − 1 − 5 − 2 1 1 − 3 2 0 1 ] {\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {17}{2}}&-1&-5\\-2&1&1\\-{\frac {3}{2}}&0&1\end{bmatrix}}}

2)Resolução do sistema linear pelo método de Cramer:

{ x + y + z = 6 x − y + z = 2 x − y + 2 z = 5 {\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=6\\x-y+z=2\\x-y+2z=5\end{cases}}}

Sabendo A X = B {\displaystyle AX=B}

A = [ 1 1 1 1 − 1 1 1 − 1 2 ] ; X = [ x y z ] ; B = [ 6 2 5 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&-1&2\end{bmatrix}};X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}};B={\begin{bmatrix}6\\2\\5\end{bmatrix}}}

Definimos quatro determinantes D , D x , D y , D z {\displaystyle D,D_{x},D_{y},D_{z}}

( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)}

D = [ 1 1 1 1 − 1 1 1 − 1 2 ] ; D x = [ 6 1 1 2 − 1 1 5 − 1 2 ] ; D y = [ 1 6 1 1 2 1 1 5 2 ] ; D z = [ 1 1 6 1 − 1 2 1 − 1 5 ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&-1&2\end{bmatrix}};D_{x}={\begin{bmatrix}6&1&1\\2&-1&1\\5&-1&2\end{bmatrix}};D_{y}={\begin{bmatrix}1&6&1\\1&2&1\\1&5&2\end{bmatrix}};D_{z}={\begin{bmatrix}1&1&6\\1&-1&2\\1&-1&5\end{bmatrix}}}

Resolvendo D , D x , D y , D z {\displaystyle D,D_{x},D_{y},D_{z}} :

D = − 2 , D x = − 2 , D y = − 4 , D z = − 6 {\displaystyle D=-2,D_{x}=-2,D_{y}=-4,D_{z}=-6}

E portanto:

x = D x D , y = D y D , z = D z D {\displaystyle x={\frac {D_{x}}{D}},y={\frac {D_{y}}{D}},z={\frac {D_{z}}{D}}}

x = − 2 − 2 , y = − 4 − 2 , z = − 6 − 2 {\displaystyle x={\frac {-2}{-2}},y={\frac {-4}{-2}},z={\frac {-6}{-2}}}

x = 1 , y = 2 , z = 3 {\displaystyle x=1,y=2,z=3}

Ver também

• Wikilivros

• O conjunto das matrizes n × m {\displaystyle n\times m} sobre um corpo F {\displaystyle F} com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão n m {\displaystyle nm}
  
  sobre F . {\displaystyle F.}
  
• O espaço vetorial das matrizes n × n {\displaystyle n\times n} sobre um corpo F {\displaystyle F} com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo F . {\displaystyle F.}
• O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz m × n {\displaystyle m\times n} representa uma transformação linear de um espaço de dimensão n {\displaystyle n} em um espaço de dimensão m {\displaystyle m} , um tensor representa uma transformação n-linear que leva n 1 {\displaystyle n_{1}}
  
  vetores em n 2 . {\displaystyle n_{2}.}
  

1. ↑ a b c MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 936.
2. ↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 27
3. ↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 19-20
4. ↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 18
5. ↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 20
6. ↑ Condensação e característica de uma matriz, Universidade dos Açores

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

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