Os números racionais na forma decimal são muito utilizados no cotidiano. Nos esportes, nas medições em geral, em corridas de automóveis, nas escalas de temperatura e até nas operações financeiras observamos a presença desses números que acabam facilitando nossas vidas. Utilizamos os números decimais praticamente todo o tempo e ainda fazemos confusões sobre o valor posicional de seus algarismos. Vamos entender como se dá esse processo utilizando os décimos, centésimos e milésimos. Décimos. Show Os décimos são todas as frações com denominador 10. Observe como essas frações podem ser escritas na forma decimal:  Observando a tabela, podemos afirmar que no número 33,64 o algarismo 4 equivale a quatro centésimos. No número 7,132 o algarismo 2 equivale a dois milésimos. Por Marcelo Rigonatto Publicado por Marcelo Rigonatto A fração geratriz é a representação fracionária de uma dízima periódica. Essa representação é uma estratégia importante na resolução de problemas sobre operações básicas da Matemática que envolvem dízimas periódicas. Para encontrá-la, podemos utilizar técnicas de equação e também um método prático. Leia também: Como resolver operações com fração? O que é uma dízima periódica?Antes de entender o que é uma fração geratriz, é fundamental compreender o que é uma dízima periódica. Existem dois casos possíveis de dízimas periódicas: a dízima periódica simples e a dízima periódica composta. Uma dízima periódica é um número decimal que possui parte decimal infinita e periódica. A dízima periódica simples é composta pela parte inteira e parte decimal. A parte decimal é a repetição do seu período, conforme os exemplos a seguir. Exemplos: a) 1,2222… Parte inteira → 1 b) 3,252525… Parte inteira → 3 c) 0,8888… Parte inteira → 0 A dízima periódica composta é uma dízima que possui parte inteira, parte decimal e, em sua parte decimal, uma parte não periódica — conhecida como antiperíodo — e o período. Exemplos: a) 2,0666… Parte inteira → 2 b) 13,518888… Parte inteira → 13 c) 0,109090909… Parte inteira → 0 Leia também: O que são frações equivalentes? O que é fração geratriz?Fração geratriz é a representação fracionária da dízima periódica, seja ela simples, seja composta. Como o nome sugere, a fração geratriz gera a dízima quando dividimos o numerador pelo denominador da representação fracionária. Exemplos: Passo a passo para calcular a fração geratrizVejamos o passo a passo para a dízima periódica simples e para a dízima periódica composta. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, é necessário seguir alguns passos, sendo eles:
Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima 1,444… x = 1,4444… O período é 4 e, como há apenas um algarismo no período, multiplicaremos por 10 dos dois lados: 10x = 1,444… · 10 10x – x = 14,444.. – 0,444… 9x = 14 x = 14/9 Então, a fração geratriz da dízima é: Exemplo 2: Encontre a fração geratriz da dízima periódica 3,252525… x = 3,252525… O período é 25 e, como possui 2 algarismos, multiplicaremos por 100. 100x = 3,252525… · 100 Agora calculando a diferença entre 100x e x: 100x – x = 325,2525… – 3,252525… 99x = 322 x = 322/99 Então, a fração geratriz da dízima é: Quando a dízima periódica é composta, o que muda é que acrescentamos um novo passo na resolução para encontrar a fração geratriz.
Exemplo: Encontre a fração geratriz da dízima 5,0323232… x = 5,0323232… Note que há 1 algarismo no antiperíodo, que é o 0. Multiplicaremos por 10 para que ela vire uma dízima periódica. 10x = 5,0323232… · 10 Agora vamos identificar o período, que é 32. Como há 2 algarismos, multiplicaremos a dízima por 100. 1000x = 5032,323232… Agora calculamos a diferença entre 1000x e 10x: 1000x – 10x = 5032,323232… – 50,323232… 990x = 4982 x=4982/990 Então, a fração geratriz é: Veja também: Como é formado um número misto? Método práticoUtilizamos o método prático para facilitar o processo de encontrar a fração geratriz da dízima periódica. Vamos analisar dois casos diferentes: quando a dízima periódica é simples e quando ela é composta. Em uma dízima periódica simples, o método prático consiste em:
Exemplo: 5,888… 5,888… = 5 + 0,888… Transformando 0,888… em fração, temos numerador igual a 8, pois 8 é o período da fração, e denominador igual a 9, pois há somente 1 algarismo no período, logo: Exemplo: Encontraremos a fração geratriz da dízima 4,1252525… Primeiro identificamos a parte inteira, o antiperíodo e o período da dízima composta: Parte inteira: 4 Antiperíodo: 1 Período: 25 O numerador da dízima composta é a diferença entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, antiperíodo e período, com o número formado pela parte inteira e antiperíodo. 4125 – 41 = 4084 No denominador, para cada número no período, acrescentamos um 9 e, na sequência, para cada número na parte não periódica, um 0. O período é 25, então acrescentamos 99; o antiperíodo é 1, então acrescentamos 0, logo o denominador é 990. A fração geratriz da dízima é: Exercícios resolvidosQuestão 1 - Ao realizar a divisão entre dois números naturais, foi encontrada a dízima periódica 1,353535… A fração geratriz dessa dízima é: Resolução Alternativa C. Faremos x = 1,353535… Multiplicando por 100 dos dois lados, temos que: 100 x = 135,3535… Agora calcularemos a diferença entre 100x e x. Questão 2 - Se x = 0,151515… e y = 0,242424…, a divisão y : x é igual a? Resolução Alternativa A. Encontrando as frações geratrizes pelo método prático, temos que: x = 0,151515… A dízima possui período igual a 15, logo seu numerador é 15, e o denominador, 99. Com o mesmo raciocínio para y = 0,242424…, o numerador é 24, e o denominador, 99. Por Raul Rodrigues de Oliveira |
Observe a fração representada no quadro abaixo qual e a representação decimal dessa fração
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