Calcular o fatorial de um número só faz sentido quando estamos trabalhando com números naturais. Essa operação é bastante comum na análise combinatória, facilitando o cálculo de arranjos, permutações, combinações e demais problemas envolvendo contagem. O fatorial é representado pelo símbolo “!”. Definimos como n! (n fatorial) a multiplicação de n por todos os seus antecessores até chegar em 1. n! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1. Show Leia também: Princípio fundamental da contagem – principal conceito da análise combinatória Tópicos deste artigo
O que é fatorial?O fatorial é uma operação muito importante para o estudo e desenvolvimento da análise combinatória. Na matemática o número seguido do símbolo de exclamação (!) é conhecido como fatorial, por exemplo, x! (x fatorial). Conhecemos como fatorial de um número natural a multiplicação desse número por seus antecessores com exceção do zero, ou seja: n! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1
Cálculo do fatorialPara encontrar o fatorial de um número, basta calcular o produto. Note também que o fatorial é uma operação que, ao aumentar o valor de n, o resultado também aumentará muito. Exemplos:
Por definição, temos: 0! = 1 Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Operações com fatorialPara resolver operações com fatorial, é importante tomar cuidado para não cometer alguns erros. Quando vamos somar, subtrair ou multiplicar dois fatoriais, é necessário calcular cada um deles separadamente. Somente a divisão possui formas específicas para a realização de simplificações. Não cometa o erro de realizar a operação e conservar o fatorial, seja para adição e subtração, seja para multiplicação.
Na hora de resolver qualquer uma dessas operações, devemos calcular cada um dos fatoriais. Exemplos: a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8 b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48. c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920. Veja também: Como resolver equação com fatorial? Simplificação de fatorialAs divisões são bastante recorrentes. Em fórmulas de combinação, arranjo e permutação com repetição, sempre vamos recorrer à simplificação para resolver problemas envolvendo fatorial. Para isso, vamos seguir alguns passos. Exemplo: 1º passo: identificar o maior dos fatoriais — nesse caso, é 8!.Agora, analisando o denominador, que é 5!, vamos escrever a multiplicação de 8 pelos seus antecessores até chegar a 5!. O fatorial de um número n, ou seja, n!, pode ser reescrito como a multiplicação de n até k!. Assim, n! = n·(n -1 ) · ( n- 2 ) · … · k!, logo vamos reescrever 8! como a multiplicação de 8 até 5!. 8! = 8 · 7 · 6 · 5! Então vamos reescrever a razão como: 2° passo: após reescrever a razão, é possível simplificar o numerador com o denominador, já que 5! está tanto no numerador quanto no denominador. Após a simplificação, basta realizar a multiplicação. Exemplo 2: Análise combinatória e fatorialAo realizar o estudo mais aprofundado em análise combinatória, o fatorial de um número sempre aparecerá. Os principais agrupamentos da análise combinatória, que são a permutação, a combinação e o arranjo, usam o fatorial de um número em suas fórmulas.
A permutação é a reordenação de todos os elementos de um conjunto. Para calcular uma permutação, nós recorremos ao fatorial, pois a permutação de n elementos é calculada por: Pn = n! Exemplo: Quantos anagramas podemos construir com o nome HEITOR? Esse é um problema típico de permutação. Como há 6 letras no nome, para calcular a quantidade de anagramas possíveis, basta calcular P6. P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Acesse também: Permutação com elementos repetidos: como resolver?
Calcular arranjos também exige o domínio do fatorial de um número. Arranjo, assim como a permutação, é a formação de um reordenamento. A diferença é que, no arranjo, estamos reordenando parte do conjunto, ou seja, queremos saber quantos reordenamentos possíveis podemos formar escolhendo uma quantidade k de um conjunto com n elementos. Exemplo: Em uma empresa, há 6 candidatos à gestão da instituição, e dois serão selecionados para os cargos de diretor e vice-diretor. Sabendo que eles serão eleitos por votação, qual é a quantidade de resultados possíveis? Nesse caso, calcularemos o arranjo de 6 tomados de 2 em 2, já que há 6 candidatos para duas vagas.
Na combinação, assim como as demais, é necessário o domínio do fatorial de um número. Definimos como combinação os subconjuntos de um conjunto. A diferença é que, na combinação, não se tem um reordenamento, pois a ordem não é importante. Logo, estamos calculando quantos subconjuntos com k elementos podemos formar em um conjunto de n elementos. Exemplo: Uma comissão de 3 alunos será escolhida para representar a turma. Sabendo-se que há 5 candidatos, quantas comissões podem ser formadas? Leia também: Arranjo ou combinação? Exercícios resolvidosQuestão 1 - Sobre o fatorial de um número, julgue as afirmativas a seguir. I). 0! + 1! = 2 II). 5! - 3! = 2! III) 2! · 4! = 8 A) Somente I é verdadeira. B) Somente II é verdadeira. C) Somente III é verdadeira. D) Somente I e II são verdadeiras. E) Somente II e II são verdadeiras. Resolução I) Verdadeira. 0! = 1 1! = 1 0! + 1! = 1+1 = 2 II) Falsa. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120 3! = 3 · 2 · 1 = 6 5! – 3! = 120 – 6 = 114 III) Falsa. 2! = 2 · 1 4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24 Questão 2 - (UFF) O produto 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 é equivalente a? A) 20!:2 B) 2·10! C) 20!:210 D) 210· 10! E) 20! : 10! Resolução Alternativa D. Analisando o produto de todos os números pares de 2 até 20, sabemos que: 20 = 2 · 10 18 = 2 · 9 16 = 2 · 8 14 = 2 · 7 12 = 2 · 6 10 = 2 · 5 8 = 2 · 4 6 = 2 · 3 4 = 2 · 2 2 = 2 · 1 Logo, podemos reescrever como 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10! Por Raul Rodrigues de Oliveira |