O que é um evento aleatório 4 ao refletir sobre esse experimento responda?

Considere a seguinte situação: lança-se um dado (comum, não-viciado) e anota-se o número da face de cima. 

É evidente que os valores de cada lançamento, isto é, o número da face superior podem ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Ou seja, há diferentes resultados, apesar de o experimento (lançar um dado e anotar o número da face de cima) ser o mesmo.

Do mesmo modo, podemos ilustrar outra situação: de um baralho, retira-se uma carta e toma-se seu valor e seu naipe. 

Podemos aqui verificar uma quantidade muito grande de resultados distintos entre si. Por exemplo, há a possibilidade de se obter um ás de copas; ou, ainda, um rei de ouros; e, também, podemos retirar do baralho um 5 de paus.

Mais uma vez: o experimento, que é retirar uma carta de um baralho e anotar seu valor e seu naipe, é o mesmo, mas produz resultados diferentes.

Definimos, assim, um experimento aleatório como sendo aquele que produz resultados diferentes (e independentes entre si), nas mesmas circunstâncias.

Os dois exemplos acima: lançamento de um dado com anotação do número da face de cima e retirada de uma carta de um baralho com verificação do seu valor e seu naipe são ilustrações típicas de experimentos aleatórios.

Um outro exemplo que podemos considerar seria o sexo de um bebê. A princípio, dadas as mesmas circunstâncias, o sexo da criança pode ter resultados diferentes: masculino ou feminino.

The research aims to understand the conceptions of teachers about the basic concepts of probability through training process based on design experiment. The study of probability is more complex than it is usually presented in training courses and requires a kind of thinking that causes a disruption of deterministic thinking. In the literature review, difficulties highlighted in the development of stochastic thinking can be detected both in its origin and historical evolution as for current studies on conception of teachers. This research addresses basic concepts of probability in a formative process developed with teachers from Secondary School and Basic School, the public of the State of São Paulo, members of the Obsevatory for Education UNIBAN / CAPES Program. The methodology adopted in the research follows the model of Design Experiment, defended by Paul Cobb and his colleagues. The work dynamics occurs through face meetings and monitoring the distance through a virtual learning environment, specially prepared for this purpose. Thus, the training process uses technology as a resource and to support and understanding that enhances the approach to content and helps realize the conceptions of teachers about the basic concepts of probability. The theoretical framework articulates the historical socio epistemological theory with theories on teacher education, statistics education and the use of media technologies. The analysis shows that many of the doubts, misunderstandings and misconceptions, present in most surveys consulted, were also found, especially on conditional probability, independent and mutually exclusive events, and some fallacies, such as representativeness and gambler. With regard to training, the survey also detects some concepts related to the practice of the teacher in the classroom, among them certain fragility in planning and reflection of their teaching, a little practice and some resistance to the use of technology in the educational process. However, feel motivated to family resources to their repertoires. Especially in the aspect of teacher education research reinforces my view that not enough pedagogical content knowledge and technological content knowledge without thorough knowledge of the specific content, without which you can not effect the amalgamation of the three key aspects to perform effective learning of students. I believe that further research in this direction are to be implemented by understanding what may contribute to the improvement of continuing education of teachers and consequently their practices in the classroom.

Universidade Federal Fluminense

Instituto de Matemática e Estatística

Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I

(GET00117)

Probabilidade

Ana Maria Lima de Farias

Departamento de Estatística

Agosto 2015

Sumário

• 1 Probabilidade: conceitos básicos
  • 1 Introdução
  • 1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento
    • 1.2 Experimento aleatório
    • 1.2 Espaço amostral
    • 1.2 Eventos aleatórios
  • 1 Operações com eventos aleatórios
    • 1.3 Interseção
    • 1.3 Exclusão
    • 1.3 União
    • 1.3 Complementação
    • 1.3 Diferença
    • 1.3 Propriedades das operações
• 2 Probabilidade: axiomas e propriedades
  • 2 Introdução
  • 2 Definição axiomática de probabilidade
  • 2 Espaços amostrais finitos e equiprováveis
• 3 Probabilidade condicional e independência de eventos
  • 3 Probabilidade condicional
    • 3.1 Regra da multiplicação

Capítulo 1

Probabilidade: conceitos básicos

1 Introdução

No nosso cotidiano, lidamos sempre com situações em que está presente a incerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis já sejam conhecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculino ou feminino, mas só saberemos o resultado exato quando o bebê nascer. Se estivermos interessados na face voltada para cima ao jogarmos um dado, os resultados possíveis serão 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mas só saberemos o resultado quando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfície sobre a qual foi lançado. É conveniente, então, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em cada um desses acontecimentos. Tal medida é aprobabilidade.

No estudo das distribuições de frequências, vimos como essas são importantes para entendermos a variabilidade de um fenômeno aleatório. Por exemplo, quando sorteamos uma amostra de empresas para analisar a distribuição do número de empregados, sabemos que uma outra amostra fornecerá resultados diferentes. No entanto, se sortearmos um grande número de amostras, esperamos que surja um determinado padrão que irá refletir a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, construído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de frequências quando o fenômeno for observado diretamente. Esses modelos são chamadosmodelos probabilísticos e serão estudados na segunda parte deste curso. Aprobabilidadeé a ferramenta básica na construção de tais modelos e será estudada nesta primeira parte.

1 Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Consideremos o lançamento de um dado, a fim de estudarmos a proporção de ocorrências das suas faces. O primeiro fato a observar é que existem apenas 6 resultados possíveis, as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segundo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que ele seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes e, portanto,

essa proporção deve ser 16 :Nessas condições, nosso modelo probabilístico para o lançamento de um dado pode ser expresso da seguinte forma:

Face 1 2 3 4 5 6 Total Frequência teórica 1616161616161

Suponhamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculino (M) ou feminino (F). Então, as possibilidades para o sexo das três crianças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultados sejam igualmente prováveis, o que equivale a dizer que cada bebê tem igual chance de ser do sexo masculino ou feminino. Então cada resultado tem uma chance de 1 8 de acontecer. Assim, o modelo probabilístico para esse experimento seria

Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total Freq. teórica 18181818181818181

Por outro lado, se só estivermos interessados no número de meninas, esse mesmo experimento nos conduzirá ao seguinte modelo probabilístico:

Meninas 0 1 2 3 Total Freq. teórica 183838181

Nesses exemplos, vimos que a especificação de um modelo probabilístico para um fenômeno casual depende da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, então, estabelecer algumas definições antes de passarmos à definição propriamente dita de probabilidade.

1.2 Experimento aleatório

Umexperimento aleatórioé um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, mesmo repetindo-se o experimento sob as mesmas condições, os resultados serão diferentes. Em contraposição aos experimentos aleatórios, temos os experimentos determinísticos, que, repetidos sob as mesmas condições, conduzem a resultados idênticos. Neste curso, estaremos interessados apenas nos experimentos aleatórios.

1.2 Espaço amostral

Oespaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do mesmo. Iremos denotar tal conjunto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, será chamado de espaço amostraldiscreto. Caso contrário, isto é, quando Ω for não enumerável, iremos chamá-lo de espaço amostral contínuo.

A: a primeira bola é branca; B: a segunda bola é branca; C: ambas as bolas são brancas;

Solução

Considerando a numeração das bolas, o espaço amostral pode ser definido como:

Ω = {(i; j) :i= 1; 2 ; 3 ;4;j= 1; 2 ; 3 ;4;i 6 =j} = {(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3)}

Os eventos são: A = {(i; j) :i= 1;2;j= 1; 2 ; 3 ;4;i 6 =j} = {(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;3);(2;4)}

B = {(i; j) :i= 1; 2 ; 3 ;4;j= 1;2;i 6 =j} = {(2;1);(3;1);(4;1);(1;2);(3;2);(4;2)}

C = {(i; j) :i= 1;2;j= 1;2;i 6 =j} = {(1;2);(2;1)}

EXEMPLO 1 Cartas de um baralho

Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das seguintes cores: azul, vermelha, preta e branca. Dê um espaço amostral para esse experimento e, em seguida, liste os eventos:

A: todas as cartas selecionadas são vermelhas; B: uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecionadas; C: três diferentes cores ocorrem; D: todas as quatro cores ocorrem.

Solução

Vamos denotar porA; V ; PeBas cores azul, vermelha, preta e branca, respectivamente. Então,

Ω = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ) :xi=A; V ; P; B;i= 1; 2 ; 3 }

Os eventos são:

A = {(V ; V ; V)}

B = {(V ; A; P);(V ; P; A);(A; V ; P);(A; P; V);(P; V ; A);(P; A; V)}

Como temos quatro cores diferentes e apenas três extrações, não é possível obter todas as cores. Logo,

D = ∅

1 Operações com eventos aleatórios

1.3 Interseção

O eventointerseçãode dois eventosAeBé o que equivale à ocorrência simultânea deAeB(ver Figura 1). Seguindo a notação da teoria de conjuntos, a interseção de dois eventos será representada porA ∩ B:

Figura 1– Interseção de dois eventos:A ∩ B

Note que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B (1)

EXEMPLO 1 Lançamento de dois dados - continuação

Consideremos o experimento “lançamento de dois dados” os eventosA=“soma das faces é um número par” eB= “soma das faces é um número maior que 9”. CalculeA ∩ B.

Solução

O espaço amostral desse experimento, que tem 36 elementos, é

Ω = {(1;1);(1;2); : : : ;(1;6);(2;1); : : : ;(2;6); : : : ;(6;6)}

Para que um elemento pertença à interseção A ∩ B; ele tem de pertencer, simultaneamente, aos eventosAeB. O eventoBé

B = {(4;6);(5;5);(5;6);(6;4);(6;5);(6;6)}

Dos seus elementos, os únicos que pertencem ao evento A, isto é, aqueles que têm soma das faces par, são os elementos ( 4 ; 6 );( 5 ; 5 );( 6 ; 4 ) e ( 6 ; 6 ). Logo, A ∩ B = {( 4 ; 6 );( 5 ; 5 );( 6 ; 4 );( 6 ; 6 )} :Note que não precisamos listar o eventoA, que tem 18 elementos!

Consideremos o experimento “lançamento de duas moedas”, em que o espaço amostral éΩ= {K K ; K C ; C K ; CC }. Sejam os eventosA= “ocorrência de exatamente 1 cara” eB= “duas faces iguais”. EntãoA={K C ; C K }eB={CC ; K K }; logo,A ∪ B= Ω eA ∩ B=∅:SejaCo evento “pelo menos uma cara”e, então,C={K C ; C K ; K K }eB ∪C= Ω eB ∩C={K K } 6=∅:

1.3 Complementação

Ocomplementar de um eventoA, denotado porAouAc;é a negação deA:Então, o complementar deAé formado pelos elementos quenãopertencem aA(ver Figura 1).

Figura 1– Complementar do eventoA=A

Observe que x ∈A ⇔ x /∈ A (1)

e também que A ∪A= Ω (1)

EXEMPLO 1çamento de um dado

Consideremos o experimetno “lançamento de um dado” e sejaA= “face par”. Então,Aé o evento “face ímpar”. Note queA={ 2 ; 4 ; 6 }eA={ 1 ; 3 ; 5 }e Ω =A ∪A:

1.3 Diferença

Adiferençaentre dois eventosAeB, representada porA\B;é o evento formado pelos elementos do espaço amostral que pertencem aA, mas não pertencem aB(ver Figura 1). Perceba que podemos pensar emA\Bcomo o complementar deBrelativoao eventoA.

Note que

x∈A\B ⇔ x∈A e x /∈B ⇔ x∈A∩B (1)

e também que A=(A\B)∪(A∩B) (1)

Além disso,A\B 6 =B\A;conforme ilustrado na Figura 1.

De maneira análoga,B\Aé o complementar deArelativoao eventoB.

Figura 1– DiferençaA\B

Figura 1– DiferençaB\A

EXEMPLO 1çamento de dois dados

Consideremos, novamente, o lançamento de dois dados e os eventosA= “soma das faces é par” eB= “soma das faces é maior que 9”. Vamos considerar as duas diferenças,A\Be B\A. Temos

Logo,

1.3 Propriedades das operações

SejamA;B;Ceventos de um espaço amostral Ω:Então, valem as seguintes propriedades.

1. Identidade

A∩∅ = ∅ A∪Ω = Ω (1)

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

Figura 1–Ilustração da propriedade distributiva:A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)

A ilustração da segunda propriedade está na Figura 1. Na linha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdadeA∪(B∩C): no diagrama à esquerda, temos o eventoAe, no diagrama do centro, o eventoB∩C:Para determinar a união desses dois eventos, basta tomar todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta no diagrama à direita, onde temos o eventoA∪(B∩C):Na linha inferior, ilustramos o lado direito da igualdade(A∪B)∩(A∪C): no diagrama à esquerda, temos o eventoA∪Be, no diagrama do centro, o eventoA∪C. Para determinar a interseção desses dois eventos, basta considerar todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta no diagrama à direita, onde temos o evento(A∪B)∩(A∪C):Analisando os diagramas à direita nas duas linhas da figura, vemos queA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

1. Absorção

A∩(A∪B) = A A∪(A∩B) = A (1)

1. Leis de De Morgan

A∩B = A∪B A∪B = A∩B (1)

Na primeira linha da Figura 1, ilustra-se a primeira propriedadeA∩B = A ∪B. Observe que, no diagrama à esquerda, temos o eventoA∩B. Já nos dois diagramas centrais, temos, respectivamente,AeB; e no diagrama à direita,A∪B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja,A∩B=A∪B:

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

Figura 1–Ilustração da propriedade distributiva:A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)

Na segunda linha da Figura 1, ilustra-se a segunda propriedadeA∪B=A∩B: no diagrama à esquerda temosA∪B; nos dois diagramas centrais, respectivamente,AeB; e no diagrama à direita,A∩B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja,A∪B=A∩B:

A B A B A B A B

Figura 1–Ilustração das leis de De Morgan

Capítulo 2

Probabilidade: axiomas e propriedades

2 Introdução

Considere, mais uma vez, o experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado equilibrado. Como já visto, o espaço amostral desse experimento éΩ={ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, e alguns eventos de interesse sãoA=“sair face 2”,B=“sair face par”, etc. A questão que se coloca, agora, é como atribuirprobabilidadea esses eventos. Ou seja, queremos determinar um número que expresse a verossimilhança de cada um desses eventos.

Uma solução seria lançar o dado um grande número de vezes e observar a proporção dos lançamentos que resultam no eventoA. Se denotarmos porn(A) o número de vezes que ocorreu o eventoAemnlançamentos, a definição de probabilidade com base na frequência relativa é

P(A) = limn→∞ n(A) n

Essa definição tem alguns problemas, a saber: quão grande deve sern? quem garante que a razão n(nA) converge e converge sempre para o mesmo número cada vez que repetimos o experimento? Temos que buscar, então, uma nova forma de definir probabilidade.

2 Definição axiomática de probabilidade

A abordagem que adotaremos será a utilização da definição axiomática da probabilidade. Isto é, vamos estabelecer algumas propriedades mínimas que se espera sejam satisfeitas pela probabilidade de qualquer evento. Tais propriedades são osaxiomas da probabilidade. 1.

A título de motivação, vamos usar o experimento do lançamento de um dado, bem como 1 Axioma: (1) Premissa imediatamente evidente que se admite como universalmente verdadeira sem exigência de demonstração. (2) Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. (dicionárioAurélio)

a definição frequentista vista acima. A primeira observação que podemos fazer é a seguinte: dado um experimento aleatório, desejamos atribuir probabilidade aos eventos do respectivo espaço amostral, ou seja, para cada evento, queremos determinar um número que indique a probabilidade desse evento. Assim, probabilidade é uma função definida no conjunto de todos os eventos de um espaço amostralΩ. Vamos denotar tal função por P.

Uma primeira propriedade bastante intuitiva é que a probabilidade de qualquer evento deve ser um número não negativo, ou seja, para qualquer eventoA, P(A)≥ 0.

Para apresentar a segunda propriedade, considere o seguinte evento associado ao experimento do lançamento de um dado: C=“face menor que 7”. É bastante intuitivo ver que, ao lançarmos um dado,sempreobteremos uma face menor que 7, ou seja, a proporção de vezes que obteremos o eventoCserá sempre 1, não importa quantas vezes lancemos o dado. Note, também, queC= Ω. Assim, a segunda propriedade que vamos exigir da probabilidade é que P(Ω) = 1.

A terceira propriedade envolve a união de eventos mutuamente exclusivos. Vimos que, seA∪B=∅, entãon(A∪B) =n(A) +n(B) e, assim, a definição frequentista da probabilidade nos daria que P(A∪B) = P(A) + P(B). Esse é o terceiro e último axioma que precisamos para definir probabilidade.

DEFINIÇÃO Definição axiomática de probabilidade

Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório. Probabilidade é uma função, denotada por P, que associa a cada eventoAde Ω um número real P(A), que satisfaz os seguintes axiomas:

I. Axioma 1: P(A)≥ 0

II. Axioma 2: P(Ω) = 1

III. Axioma 3:A∩B=∅⇒P(A∪B) = P(A) + P(B)

Vamos, agora, apresentar propriedades da probabilidade que resultam dos Axiomas I a III.

Demonstração Temos que Ω = Ω∪∅e como Ω∩∅=∅, podemos aplicar o Axioma III para obter que P(Ω) = P(Ω) + P(∅), de onde segue que P(∅) = 0. 

Demonstração

Figura 2–União de dois eventos quaisquerA∪B

1. SeB ⊂A, então P(B)≤P(A): Demonstração

Veja a Figura 2; note que

B ⊂A⇒A=B∪(A\B)⇒ P(A) = P(B) + P(A\B)⇒P(A)≥P(B)

uma vez que P(A\B)≥0.

Figura 2–B ⊂A



1. P(A)≤1 para qualquer eventoA⊂Ω: Demonstração

Esse resultado é consequência imediata da propriedade anterior, uma vez queA⊂Ω⇒ P(A)≤P(Ω) = 1 

Eis um resumo dos axiomas e propriedades da probabilidade:

Axiomas P(A)≥ 0 P(Ω)= 1 A∩B=∅⇒P(A∪B) = P(A) + P(B) Propriedades P(∅) = 0 P(A) = 1−P(A) P(A\B) = P(A∩B) = P(A)−P(A∩B) P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B) A⊂B ⇒P(A)≤P(B) P(A)≤ 1

2 Espaços amostrais finitos e equiprováveis

Vamos considerar, agora, uma situação especial, em que o espaço amostral Ω é finito e todos os seus eventos elementares são igualmente prováveis. Esse contexto leva àdefinição clássica de probabilidade, que foi a primeira definição formal de probabilidade, explicitada por Girolamo Cardano (1501-1576).

SejamE 1 ;E 2 ;···ENos eventos elementares de Ω. Então,

e esses eventos elementares são mutuamente exclusivos dois a dois. Pode-se provar, por indução, que

Como estamos supondo que todos eles são igualmente prováveis, resulta

P(Ei) =

n(Ω) ∀i

Mas, qualquer eventoA⊂Ω pode ser escrito como união de eventos elementares. Logo,

n(A) n(Ω

O que é o evento de um experimento aleatório?

O que é um evento aleatório exemplos?

O que é um evento aleatório Brainly?

Quais são os experimentos aleatórios?