Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 100?

Para
numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são
usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

RESPOSTA

Como
existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900
números com 3 algarismos são necessários: • 9 algarismos para numerar as
primeiras 9 páginas; • 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90
páginas; • 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas.
Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3
algarismos e satisfaz a equação: 3 (x-99) + 189 = 852 O livro possui 320
páginas.

Juliano Study

unread,

Dec 1, 2013, 11:36:25 PM12/1/13

to

Resolução da minha resposta :

De 0 até 9 -> 9 - 0 = 9 +1 = 10 * 1 = 10 algarismos

De 10 até 99 -> 99 - 10 = 89 + 1 = 90 * 2 = 180 algarismos

De 100 até 150 -> 150 - 100 = 50 + 1 = 51 * 3 = 153 algarismos

Soma dos algarismos -> 10 + 180 + 153 = 343 [RESPOSTA]

Minha dúvida é porque minha resposta não está correspondente a 340 de acordo como está no site matemáticamuitofácil, questão 21 de numeração. Agradeço desde já, quem puder ajudar.

Professor Luiz Fernando Reis

unread,

Dec 6, 2013, 4:36:21 AM12/6/13

to

O último dos 150 primeiros naturais é 149 e não o 150. É apenas esse o seu erro.

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utilizar o álcool se o seu preço for, no máximo, 
100
· 2,60 ൌ 0,7 · 2,60 ൌ 1,82
R$ 1,82. Não é vantajoso, portanto, utilizar o álcool se o seu preço for superior
a R$ 1,82. 
Letra B 
 
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14. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1
a 150 todas as páginas de um livro? 
a) 327 
b) 339 
c) 342 
d) 345 
e) 350 
Resolução 
Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos. 
Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos. 
Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos? 
Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51
páginas! 
Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos. 
Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos. 
Letra C 
Questões envolvendo páginas de livros e quantidades de algarismos para
escrever as páginas são muito frequentes em provas da FCC. 
Há uma “fórmula” para resolver instantaneamente questões deste tipo. Esta
fórmula dá certo se o número de páginas do livro for maior que 99 e menor que 
1.000. Ou seja, se o número de páginas tiver 3 algarismos (o número total de
algarismos deve ser maior que 189). 
Considerando que são ܲ páginas e ܣ algarismos para escrever estas páginas, 
a relação é a seguinte: 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
Ou, isolando o A: 
Vamos resolver novamente esta questão, substituindo o valor de
ܣ ൌ 3ܲ െ 108
ܲ por 150. 
ܣ ൌ 3 · 150 െ 108
ܣ ൌ 450 െ 108
ܣ ൌ 342
 
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Muito fácil, não? 
15. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1
a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos,
então N é igual a 
(A) 235 
(B) 244 
(C) 245 
(D) 254 
(E) 255 
Resolução 
Utilizando a relação que eu desenvolvi e mostrei na questão anterior (observe
que o número de páginas P foi chamado de N). 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ܲ ൌ
657 ൅ 108
3
ൌ 255 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra E 
16. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que na
numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222
algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então 
(A) X < 95 
(B) 94 < X < 110 
(C) 109 < X < 125 
(D) 124 < X < 130 
(E) X > 129 
Resolução 
Questão idêntica!! 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ܲ ൌ
222 ൅ 108
3
ൌ 110 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra C 
17. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da
montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da
Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a
numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la,
constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram
numeradas é 
(A) 97 
 
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(B) 99 
(C) 111 
(D) 117 
(E) 126 
Resolução 
Mais uma!! 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ൌ
225 ൅ 108
3
ൌ 111 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra C 
18. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma
compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o
pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
Resolução 
As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco
será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito
utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido
com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco)
com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$
1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. 
Letra C 
19. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a
operação ☺ tal que x☺y é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto
dizer que (x☺y)☺(y☺x) é igual a 
(A) 2x 
(B) 2y 
(C) 2(x−y) 
(D) −2(x−y) 
(E) −2x 
Resolução 
Podemos simplesmente substituir o símbolo ☺ pelo sinal da subtração. 
(x☺y)☺(y☺x)=ሺݔ െ ݕሻ െ ሺݕ െ ݔሻ ൌ ݔ െ ݕ െ ݕ ൅ ݔ ൌ 2ݔ െ 2ݕ
 
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Colocando o número 2 em evidência, temos: 
2ݔ െ 2ݕ ൌ 2ሺݔ െ ݕሻ
Letra C 
20. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida 
por ݑ୼ ൌ 3 െ 5ݑ, qualquer que seja o inteiro ݑ. Calculando ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺ2୼ሻ୼
obtém-se um número compreendido entre: 
(A) −20 e −10 
(B) −10 e 20 
(C) 20 e 50 
(D) 50 e 70 
(E) 70 e 100
Resolução 
Para calcular o valor de ሺെ2ሻ୼ devemos substituir o valor de ݑ por െ2. 
Para calcular o valor de 
ሺെ2ሻ୼ ൌ 3 െ 5 · ሺെ2ሻ ൌ 3 ൅ 10 ൌ 13
2୼ devemos substituir o valor de ݑ por 2. 
2୼ ൌ 3 െ 5 · 2 ൌ 3 െ 10 ൌ െ7
Portanto, ሺ2୼ሻ୼ ൌ ሺെ7ሻ୼. 
Para calcular o valor de ሺെ7ሻ୼ devemos substituir o valor de ݑ por െ7. 
ሺെ7ሻ୼ ൌ 3 െ 5 · ሺെ7ሻ ൌ 3 ൅ 35 ൌ 38
Desta forma: 
Letra D 
ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺ2୼ሻ୼ ൌ ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺെ7ሻ୼ ൌ 13 ൅ 38 ൌ 51
21. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que ݔ୼ é um 
número racional definido pela sentença ݔ୼ ൌ ଷ௫ି଼
଼
. Calculando-se ሺ11୼ሻ୼
obtém-se um número 
(A) negativo. 
(B) compreendido entre 0 e 1. 
(C) compreendido entre 1 e 2. 
(D) compreendido entre 2 e 3. 
(E) maior do que 3. 
Resolução 
Para calcular 11୼ devemos substituir ݔ por 11. 
 
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11୼ ൌ
3 · 11 െ 8
8
ൌ
25
8
Portanto: 
ሺ11୼ሻ୼ ൌ ൬
25
8
൰
୼
 
Para calcular ቀଶହ
଼
ቁ
୼
 devemos substituir ݔ por 25/8. 
൬
25
8
൰
୼
ൌ
3 · 258 െ 8
8
ൌ
75
8 െ 8
8
ൌ
9,375 െ 8
8
ൌ
1,375
8
Ao dividir um número positivo e menor que 8 por 8 obtemos um número que
está compreendido entre 0 e 1. De fato: 
1,375
8
ൌ 0,171875
Letra B 
22. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
Resolução 
Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e
tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de
tempo. 
 
 
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A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. 
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.
Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do
tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. 
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda
torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 
1
24
൅
1
48
ൌ
2 ൅ 1
48
ൌ
3
48
ൌ
1
16
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ
horas, em 1 hora encherão 1/x. 
Assim: 
1
ݔ
ൌ
1
16
ݔ ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
Letra E 
O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira
enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.
Cada parte representa
ଵ
ଶସ
do tanque.
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO

Quantos algarismos usamos para escrever os números de 1 a 100?

Quantos algarismos são necessários para numerar um livro de 100 páginas?

Quantos algarismos de 1 a 120?

Quando contamos de 1 até 100 Quantos algarismos 8 aparece?