Matemática Show
ExperimentoChama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória) para a obtenção de alguma observação de seus resultados. Espaço Amostral (S)O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é dito espaço
amostral. Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe. Num lançamento de um dado, observar a face voltada para cima. Evento (E)Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito evento. Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe. Evento certo Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral. Exemplo: Evento impossível Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral. Exemplo: ProbabilidadeSe em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E é: Onde n(E) é o número de elementos do evento E e n(S) é o número de elementos do espaço amostral. Exemplo: PropriedadesSeja A um evento e S o espaço amostral, assim sempre se tem: 2) P() = 0. 3) P(S) = 1. 4) P() = 1 – P(A). Probabilidade da união de dois eventosSe A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral, o número de elementos da ocorrência de A "ou" B
é dado por: O número de elementos da ocorrência de A "e" B é dado por: A probabilidade da ocorrência de A união B é dada por: Eventos mutuamente excludentesDois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes ou exclusivos se a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Neste caso, A B = , então:P(A B) = P(A) + P(B). Exemplo: P(A B) = 1/2 + 1/2 = 1.Probabilidade condicionalSe um evento A ocorreu ou irá ocorrer, a probabilidade de outro evento B ocorrer sabendo da ocorrência de A ( onde P(A) > 0 ) é dada por: Exemplo: P(B|A) = n(A B) / n(A)P(B|A) = 2 / 5. Regra da multiplicaçãoComo P(B/A) = P(A B) / P(A)Então, tem-se que: P(A B) = P(B|A) . P(A) = P(A|B) . P(B) Propriedades1) 0 P(B|A) 1.2) P(S|A) = 1. 3) Se B1 B2 = , então: P(B1 B2|A) = P(B1|A) + P(B2|A). Eventos independentesDois eventos A e B são ditos independentes se o fato de A ter ocorrido não tem qualquer efeito sobre a ocorrência de B. Exemplo: Chamando A = { sair 2 no 1º } e B = { sair 3 no 2º }, então: De uma forma geral, se os eventos A1, A2, . . . , An são independentes,
então: Teorema de BayesSejam E1, E2, E3, . . . , En, eventos mutuamente excludentes e A um evento qualquer tal que P(A) > 0, tem-se então: P(Ek|A) = P(A|Ek) . P(Ek) / [ P(A|Ek) . P(Ek) ]Exercícios Resolvidos R01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que 4? Seja o
evento A = { número maior do que 4 } = { 5, 6 }, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, então: R02 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade do número dela ser um múltiplo de 2 ou de 3? Seja o evento A = { múltiplo de 2 } = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } e o evento B = { múltiplo de 3 } = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }, logo n(A) = 10 e n(B) = 6. O número de elementos de A e B é n(A B) = 3.P(A) = 10 / 20; P(B) = 6 / 20 e P(A B) = 3 / 20. P(A B) = 10/20 + 6/20 – 3/20 = 13/20. R03 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade do número dela ser um múltiplo de 3 ou de 7? Seja A = { múltiplo de 3 }; B = { múltiplo de 7 }, entre 1 e 20, não há múltiplos em comum, logo são mutuamente excludentes e, portanto: R04 — Uma bola é retirada de uma sacola contendo 4 bolas pretas, 2 amarelas e 6 bolas vermelhas. Qual a probabilidade desta bola não ser preta? Há 12 bolas na sacola, sendo o evento A = { a bola é preta }, então P(A) = 4/12 = 1/3. R05 — De uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, retira-se duas bolas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de ser um múltiplo de 2 e de 3, nesta ordem? Os eventos A = { a 1ª múltiplo de 2 }; B = { a 2ª é
múltiplo de 3 }. R06 — Um dado foi fabricado de tal forma que num lançamento a probabilidade de ocorrer um número par é o dobro da probabilidade de ocorrer número ímpar na face superior, sendo que os três números pares ocorrem com igual
probabilidade, bem como os três números ímpares. Seja A = { o número é par }; B = { o número é ímpar }. Como A B = , então: P(A B) = P(A) + P(B) = 1Como a probabilidade de ocorrer um número par é o dobro da de ocorrer um número ímpar P(A) = 2 . P(B), então: a) P(A) = 2 . P(B) = 2 . (1/3) = 2/3. b) P(1 3 5 ) = P(1) + P(3) + P(5) = 1/3, e como:P(1) = P(3) = P(5), logo P(1) + P(1) + P(1) = 1/3 e daí, P(1) = 1/9 = P(3) = P(5). Portanto, P(2) = P(4) = P(6) = 2/9. P(2 3) = P(2) + P(3) = 2/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3.R07 — Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? Para contar o número de elementos do espaço amostral, tem-se três posições, para cada uma delas há duas opções (cara ou coroa), então: n(S) = 2 . 2 . 2 = 8. P(A) = 2/8 = 1/4. R08 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS? O
número de elementos do espaço amostral S é dado por: O número de elementos do evento "A" ambas serem de copas é dado por: P(A B) = (13 . 12 / 52 . 51) + (13 . 12 / 52 . 51) = 0,0588 + 0,0588 = 0,1176.R09 — Uma determinada peça é manufaturada por 3 máquinas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Considerem-se os seguintes eventos: D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça é da máquina A }, B = { A peça é da máquina B } e C = { A peça é da máquina C }. Tem-se então que: R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas
máquinas. Sejam os eventos D = { a peça é defeituosa }, M1 = { produção da máquina 1 }, M2 = { produção da máquina 2 }. Logo: Pelo teorema de Bayes: P(M2|D) = 0,025 . 0,65 / [ 0,05 . 0,35 + 0,025 . 0,65 ] Exercícios Propostos P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre 1 e 100. Qual a probabilidade dele não se múltiplo de 5? P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, onde as suas "chances", segundo os entendidos, são de "3 para 2". Calcule também a probabilidade dele perder. P03 — No lançamento dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7. P04 — Uma urna contém 10 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 9 bolas pretas. Uma bola da urna é escolhida ao acaso e verifica-se que não é preta, qual a probabilidade de ser amarela? P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre 11 e 951. Qual a probabilidade dele ser um múltiplo de 3 ou de 5? P06
— Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P07 — No lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de: P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 e 50. Qual a probabilidade de: P09 — Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas e 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas, 3 brancas e 2 pretas. Uma bola é transferida de A para B. P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são, respectivamente, 2/3; 4/5 e 7/10. Se cada um “cobrar” apenas uma vez, qual a probabilidade de: P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa. Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra ser uma porca? P12 — As chances de um time de futebol "A" ganhar o campeonato que está disputando são de "7 para 2". Determine a probabilidade de "A" ganhar e a probabilidade de "A" perder. P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus? P14 — Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem selecionados: P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso e sem reposição. P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos A = {(x, y); x + y = 8}; B = {(x, y); x = y}; C = {(x, y); x + y = 10}; D = {(x, y); x > y} e E = {(x, y); x = 2y}. Calcule: P17 — Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As percentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. P18 — Um grupo de 15 pessoas, dispostas da seguinte forma: 10 homens, sendo 5 menores de idade e 5 mulheres, sendo 3 menores. P19 — O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela
junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. P20 — Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, 25% de todos os carros testados emitem quantidades excessivas de poluentes. P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. fonte:hpdemat.apphb.com - Resultados Possíveis E Casos Favoráveis - Experimento Aleatório - Probabilidade -
Probabilidade De Dois Eventos Sucessivos Ou Simultâneos - Probabilidade . Qual a probabilidade de se obter no lançamento de um dado um número ímpar ou primo?Podemos então escrever a seguinte fórmula: Para podermos utilizar esta fórmula, precisamos calcular a probabilidade de : Finalmente temos: A probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar ao lançarmos um dado é igual a 2/3.
Qual é a probabilidade de no lançamento de um dado sair um número ímpar ou um número menor que 3?Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Qual é a probabilidade de sair um número ímpar no lançamento de um dado?Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima? Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Qual a probabilidade de jogar um dado é cair um número primo?Explicação passo-a-passo:
levando em consideração que o dado tem 6 números ao total e sabendo que os números primos menores que 6 são 2,3 e 5 a probabilidade de cair um número primo voltado para cima é de 3/6.
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