Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados opostos paralelos e congruentes

Sobre a classificação de quadriláteros, assinale a alternativa correta: a) Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados paralelos. b) Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados congruentes. c) Um paralelogramo não é um quadrilátero. d) Um trapézio é um quadrilátero que possui lados paralelos. e) Um trapézio é um quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos.

Respostas

1.

Pergunta 3. Respostas do livro didático de matemática da 8ª classe da 8ª classe

Explique

A questão dá 5 explicações possíveis para um paralelogramo, um trapézio e dois quadriláteros. Peça que escolham a opção correta. Depois de entender os conceitos de paralelogramo e trapézio, cada opção deve ser analisada.

Etapa 1 – Opção A

A opção A diz “Um paralelogramo é um quadrilátero é um paralelogramo”, o que é incorreto porque não especifica que o paralelogramo tem lados paralelos opostos, como segue. Se sim, o que verificar?

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2.

Variação E: Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos.

É sobre números. Neste caso, usamos quads. Um quadrilátero é uma forma que tem todos os quatro lados e os lados podem ter comprimentos iguais ou diferentes.

Além disso, alguns deles têm dois pares de lados paralelos e quatro ângulos internos de 90 graus, enquanto outros não têm lados perpendiculares entre si.

Isso nos permite dizer que um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos porque esses dois lados não são paralelos.

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3.

Comentários:

A resposta correta é a letra (E).

Paralelogramos são figuras geométricas que possuem apenas quatro lados, sendo os lados opostos paralelos. Isso significa que os lados opostos de um paralelogramo são segmentos de reta pertencentes a retas que não se tocam em ponto algum. Para verificar isso, seria necessário desenhar o prolongamento dos lados de um paralelogramo infinitamente.

Elementos dos paralelogramos

Os paralelogramos são quadriláteros, por serem polígonos que possuem exatamente quatro lados, e convexos. Por essa razão, herdam todos os elementos e propriedades dos polígonos convexos e quadriláteros. Veja:

• Lados: os lados de um paralelogramo são os segmentos de reta que o compõem;

• Vértices: são os pontos de encontro entre dois lados de um paralelogramo;

• Diagonais: são os segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos. Os paralelogramos possuem apenas duas diagonais;

• Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados adjacentes de um paralelogramo. Os paralelogramos possuem quatro ângulos internos;

• Ângulos externos: são os ângulos formados, no exterior do polígono, pelo prolongamento de um lado e o lado adjacente a ele. Os paralelogramos também possuem quatro ângulos externos.

Propriedades dos paralelogramos

• Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes e paralelos;

• Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes;

• Ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares (sua soma é igual a 180°);

• A soma dos ângulos externos de um paralelogramo é sempre igual a 360°;

• A soma dos ângulos internos de um paralelogramo é sempre igual a 360°;

• Em todo paralelogramo, a soma de um ângulo interno e um ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°;

• As diagonais de um paralelogramo cruzam-se em seus pontos médios.

Os paralelogramos podem ser classificados de acordo com as suas medidas. Os grupos são: outros, que reúnem paralelogramos quaisquer; retângulos; losangos e quadrados.

Retângulos

São paralelogramos que possuem ângulos internos retos. Assim, seus ângulos externos também são retos e seu formato é igual ao da figura a seguir:

A propriedade específica do retângulo está relacionada com as suas diagonais: as diagonais de um retângulo são congruentes e encontram-se em seus pontos médios. Assim, todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo.

Losango

Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes. Observe que a definição não envolve ângulos, por isso, formam figuras parecidas com a da imagem a seguir:

As diagonais do losango são perpendiculares e encontram-se em seus pontos médios. Note que todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um losango.

Quadrados

Os quadrados são paralelogramos que são losangos e retângulos simultaneamente. Sendo assim, os quadrados, além de possuírem todos os lados iguais, também possuem ângulos retos. As diagonais de um quadrado são perpendiculares e congruentes.

Observe que os quadrados são também são losangos e retângulos, mas nem todo losango ou retângulo é quadrado. Além disso, um losango que possui ângulos retos é também um quadrado. Da mesma forma, um retângulo de lados congruentes é também um quadrado.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Os paralelogramos são polígonos da geometria plana bastante explorados por serem figuras geométricas comuns no nosso dia a dia. Definimos como paralelogramo um polígono que possui lados opostos paralelos, característica essa que resulta em propriedades exclusivas.

Os casos particulares de paralelogramos são os quadrados, retângulos e losangos. Para cada um desses polígonos, há fórmulas específicas para o cálculo de área e perímetro.

Leia também: Círculo e circunferência – formas geométricas com muitas particularidades

Elementos de um paralelogramo

Para ser um paralelogramo, o polígono deve possuir os lados opostos paralelos. Como características específicas, temos que:

• Todo paralelogramo é composto por quatro lados, e os lados opostos são paralelos.

• Todo paralelogramo possui quatro ângulos internos, e a soma desses ângulos é sempre igual a 360º.

• Todo paralelogramo possui duas diagonais.

Vale lembrar que os paralelogramos são casos particulares de quadriláteros, então existem características que são herdadas dessas figuras geométricas, como a existência de duas diagonais, quatro lados e quatro ângulos, bem como a soma dos ângulos internos e dos ângulos externos ser sempre igual a 360º.

• 1ª propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, isto é, possuem a mesma medida.

• 2ª propriedade: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes, e dois ângulos consecutivos são sempre suplementares (a soma é igual a 180º).

Sabendo que AB e CD são paralelos, então os lados BC e AD são transversais de AB e CD; consequentemente, os ângulos formados (w e x) são suplementares, pois são ângulos colaterais internos. Além disso, é possível demonstrar que os ângulos x e z são congruentes.

• 3ª propriedade: As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.

Quando traçamos as duas diagonais de um paralelogramo, o ponto de encontro delas divide cada uma delas em seus pontos médios.

AM = CM

BM= DM

Veja também: Ponto, reta, plano e espaço: conceitos básicos da geometria

Área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo, de modo geral, é calculada pelo produto da base pela altura. Há casos particulares (retângulos, losangos e quadrados) que possuem fórmulas específicas – serão apresentadas no decorrer deste texto –, mas que surgem a partir da forma geral.

A = b.h

b: base

h: altura

Perímetro de um paralelogramo

O perímetro é dado pela soma de todos os lados. Como um paralelogramo possui, de forma geral, dois lados iguais, o seu perímetro pode ser determinado por:

P = 2 (a + b)

Casos especiais de paralelogramos

Como sabemos, por definição, para que seja um paralelogramo, o polígono precisa ter lados paralelos. Existem três quadriláteros que são tratados como casos particulares do paralelogramo: o retângulo, o losango e o quadrado.

Chamamos de quadrado um polígono de quatro lados que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes – cada ângulo possui exatamente 90º. Como o quadrado é um paralelogramo, todas as propriedades são válidas para o quadrado.

A área de um quadrado e o seu perímetro são calculados de forma parecida com o que é feito com um paralelogramo, mas como todos os lados do quadrado são iguais, podemos representar a área e o perímetro do quadrado desta forma:

A= l²

P = 4.l

O retângulo é um paralelogramo que possui todos os ângulos congruentes. Ele recebe esse nome porque todos os seus ângulos são retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90º. A área do retângulo é idêntica à área do paralelogramo, mas podemos tratar o lado na vertical como a altura, afinal, ele é perpendicular à base.

A=a .b

P= 2 (a + b)

O losango é um paralelogramo que possui todos os seus lados congruentes. Note que não há nenhuma restrição para os ângulos, podendo eles ser diferentes ou não. De maneira distinta dos exemplos anteriores, o cálculo da área de um losango é feito com base nas suas diagonais. Também existe uma relação muito importante entre as diagonais do losango e o seu lado.

D: diagonal maior

d: diagonal menor

l: lado

Dado um losango qualquer, sabemos que as diagonais se cruzam no ponto médio, formando quatro triângulos retângulos. Analisando um desses triângulos, é possível perceber uma relação pitagórica entre o lado e a metade de cada uma das diagonais.

Acesse também: Comprimento da circunferência e área do círculo

Relação entre os paralelogramos

É importante entender bem a definição de paralelogramo, para não ter complicação durante a classificação. É sempre bom lembrar que todo paralelogramo é um quadrilátero, mas nem todo quadrilátero é um paralelogramo.

Podemos afirmar também que todo retângulo, todo quadrado e todo losango são paralelogramos. Além disso, comparando os casos especiais de paralelogramos, podemos perceber outra relação, pois o quadrado possui ângulos congruentes, que é a definição de retângulo, e também lados congruentes, que é a definição de losango. Como consequência, podemos afirmar que todo quadrado é um retângulo e também um losango.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo, qual será o valor de x, y e z respectivamente?

a) 40,140 e 180

b) 30, 100 e 100

c) 25, 140 e 95

d) 30, 90 e 145

e) 45, 55 e 220

Resolução

1º passo: Utilizando a propriedade do paralelogramo, sabemos que ângulos opostos são iguais. Ao analisar a imagem, é mais conveniente utilizar essa propriedade nos ângulos do vértice B e D, pois possuem mesma incógnita.

2º passo: Sabendo que ângulos consecutivos são suplementares e que x = 25, é possível encontrar o valor de y.

3º passo: Como os ângulos dos vértices C e A são opostos, eles são congruentes, logo podemos encontrar o valor de z.

Alternativa C.

Questão 2 - Calcule a área do paralelogramo (lados medidos em centímetros) a seguir.

a) 16 cm²

b) 32 cm²

c) 8 cm²

d) 64 cm²

e) 40 cm²

Resolução

Para encontrar a área do paralelogramo, primeiro é necessário encontrar o valor de h. Note que o triângulo AEB é retângulo de hipotenusa igual a 5, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de h.

Alternativa B.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática