1) Quais são os pares de termos semelhantes? a) 7a e 4a b) 2x² e -6x² c) 4y e 5y² d) 8xy e –xy e) -5a e -4ab 2) Reduza os termos semelhantes: a) 8a + 2a = 10a b) 7x – 5x = 2x c) 2y²- 9y² = - 7y² d) 4a² - a² = 3a² e) 4y – 6y = - 2y 3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas: a) 6x² - [ 4x² + (3x – 5) + x] = 2x² – x +5 b) 3X + { 2Y – [ 5X – (Y + X)]} = - x + 3y c) – 3x + [ x² - ( 4x² - x ) + 5x] = - 3x² + 3x d) Xy – [ 2x + (3xy – 4x ) + 7x] = 2xy+13x e) 8a – [ ( a + 2m) – ( 3a – 3m)] = 10a- 5m 4) Efetue: a) (+7x) + (-3x) = 4x b) (-8x) + (+11x) = 3x c) (-2y) + (-3y) = - 5y d) (-2m) + (-m) = - 3 m e) (+5a²) + (-3a²) = a² 5) Efetue : a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = 5xy b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = 9x c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = - 15 y d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = 5n 6) Multiplique os monômios: a) (+5x) . (-4x²) = - 20 x³ b) (-2x) . (+3x) = - 6x² c) (+5x) . (+4x) = 20x² d) (-n) . (+ 6n) = - 6 n² e) (-6x²) . (+3x²) = - 18 x⁴ 7) Calcule os quocientes: a) (10xy) : (5x) = 2 y b) (x³y²) : (2xy) = ½ x² y c) (-3xz²) : (-3xz) = z d) (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = - 2m²n e) (1/2a³b²) : (-a³b²) = - ½ 8) Calcule as potências: a) ( + 3x²)² = 9 x⁴ b) (-8x⁴)² = 64x⁶ c) (2x⁵)³ = 8 x¹⁵ d) (3y²)³ = 27 y ⁶ e) (-y²)⁴ = y⁸ 9) Extraia a raiz quadrada: a) √4x⁶ = 2x³ b) √x²y⁴ = x² c) √36c⁴ = 6c² d) √81m² = 9 m e) √25x¹² = 5x⁶ Operações com polinômios Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.
Questão 1
Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é: A) 2 B) 5 C) 9 D) 15 E) 18
Questão 2
Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a: A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
Questão 3
Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é: A) 5 B) – 5 C) 0 D) – 10 E) 10
Questão 4
(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é: A) B) 1 C) – 1 D) – 2
Questão 5
Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é: A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0
Questão 6
(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa? A) V(x) = x² − 1 B) V(x) = x³ − 1 C) V(x) = x³ − x D) V(x) = x³ + 2x² +x
Questão 7
Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3? A) – 1 B) 3 C) – 3 D) ± 9 E) 9
Questão 8
O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é: A) 8x + 3 B) 11x C) 4x² + 2 D) x² + 11 E) 11x – 3
Questão 9
Considerando os polinômios a seguir:
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a: A) y² + 2x² + 2 B) 2x³ C) 2x³ + x² + y² – 3 D) x² + 4y² + 3 E) x² + y²
Questão 10
Analise as afirmativas a seguir: I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis. II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6. III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente a afirmativa III é verdadeira. D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 11
O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio: A) 2x – 1 B) 8x + 4 C) 11x – 3 D) 10x + 4 E) x³ + 3
Questão 12
(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por A) 2xy B) 15 − 3x C) 15 − 5y D) −5y − 3x E) 5y + 3x − xy
Resposta - Questão 1
Alternativa A Calculando p(2): p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10 p(2) = 8 + 5 · 4 – 10 p(2) = 8 + 20 – 10 p(2) = 28 – 10 p(2) = 18 Calculando q(1): q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4 q(1) = – 1 + 6 + 4 q(1) = 9 A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.
Resposta - Questão 2
Alternativa B O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.
Resposta - Questão 3
Alternativa E Calculando P(1): P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3 P(1) = 1 + 2 – 5 – 3 P(1) = – 5 Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10
Resposta - Questão 4
Alternativa C Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que: D(x) = x + 1 x + 1 = 0 x = – 1 Agora, calculando P(– 1): P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3 P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3 P(– 1) = – 1
Resposta - Questão 5
Alternativa D Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que: p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24 0 = 2 (– 27) + 12k + 24 0 = – 54 + 12k + 24 – 12k = – 54 + 24 – 12k = – 30 k = (– 30) : (– 12) k = 2,5
Resposta - Questão 6
Alternativa C Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões: V(x) = (x – 1) ( x + 1)x V(x) = (x² – x + x – 1²)x V(x) = (x² – 1)x V(x) = x³ – x
Resposta - Questão 7
Alternativa E Para que o polinômio seja de grau 3, temos que: k – 9 = 0 e k² – 81 = 0. Resolvendo a primeira equação, temos que: k – 9 = 0 k = 9 Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois 9² – 81 = 0 81 – 81 = 0 0 = 0 Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.
Resposta - Questão 8
Alternativa A Calculando o perímetro: P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3 P = 8x + 3
Resposta - Questão 9
Alternativa E Realizando a soma, temos que: (2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3) 2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6 Juntando os termos semelhantes, encontraremos: x² + y²
Resposta - Questão 10
Alternativa B
P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2 P(2) = 3 · 4 – 8 + 2 P(2) = 12 – 8 + 2 P(2) = 6
Resposta - Questão 11
Alternativa C Calculando o perímetro, temos que: P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2 P = 11x – 3
Resposta - Questão 12
Alternativa E A área perdida pode ser separada em três retângulos. O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo. Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum. 5y + 3x – xy |