Calcule a área de um losango sabendo que sua diagonal maior mede 6 cm é a diagonal menor mede 2 cm

O losango é uma figura plana que possui quatro lados, todos congruentes. Na geometria plana, ele é considerado um caso particular de quadrilátero, possuindo propriedades importantes.

Por ser um quadrilátero, o losango possui duas diagonais: a diagonal menor e a diagonal maior. Elas se cruzam de forma perpendicular, o que torna possível a aplicação do teorema de Pitágoras, relacionando o comprimento do lado e a metade do comprimento de cada uma das diagonais do losango.

Essa forma geométrica possui fórmulas específicas para o cálculo de área e de perímetro. Para calcular a área do losango, calculamos a metade do produto entre a diagonal maior e a diagonal menor. Já o perímetro pode ser calculado pela multiplicação da medida do lado por quatro.

Leia também: Quais são as principais diferenças entre figuras planas e espaciais?

Elementos do losango

Conhecemos como losango todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes. Os principais elementos do losango são:

• os lados;

• os vértices;

• os ângulos internos;

• a diagonal maior; e

• a diagonal menor.

As diagonais são os segmentos que ligam dois vértices não consecutivos. Há duas diagonais no losango. Chamamos de D o comprimento da diagonal maior e de d o comprimento da diagonal menor.

Como o losango é um quadrilátero, ele possui:

• 4 lados;

• 4 ângulos internos;

• 4 vértices.

Veja a imagem a seguir com os principais elementos do losango:

d → comprimento da diagonal menor D → comprimento da diagonal maior A,B,C e E → vértices

AB, AE, CE e BC → lados do losango

O losango é um quadrilátero e também um paralelogramo. Assim, ele possui propriedades herdadas dessas classificações, além de propriedades específicas.

Como ele é um paralelogramo, o losango possui:

• ângulos e lados opostos congruentes;

• soma dos ângulos internos igual a 360º;

• lados opostos paralelos e congruentes;

• diagonais que se cruzam no ponto médio;

• ângulos consecutivos suplementares, ou seja, com soma igual a 180º.

Além dessas propriedades já existentes para todo paralelogramo, há uma propriedade que é exclusiva do losango: as diagonais são perpendiculares entre si. Ao traçar a diagonal maior e a diagonal menor, elas se cruzam de forma perpendicular.

Há uma consequência importante dessa propriedade, que é a relação pitagórica entre a medida dos lados e a metade das medidas da diagonal.

Pelo triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

Veja também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Perímetro do losango

O perímetro de um polígono é o comprimento do seu contorno. No losango, nós sabemos que os quatro lados são congruentes. Assim, para calcular o perímetro dessa figura plana, basta multiplicar a medida do lado por quatro.

P = 4l

Exemplo:

Encontre o perímetro do losango sabendo que um dos lados mede 7,5 centímetros.

Para calcular o perímetro, basta multiplicar o comprimento do lado por 4.

P = 4 · 7,5

P = 30 centímetros.

Área do losango

Na maioria dos polígonos, o cálculo da área está relacionado com o comprimento da base e da altura, mas, no losango em particular, como ele não possui base, calculamos a sua área utilizando os comprimentos das diagonais. Assim, a área do losango é calculada pelo produto entre as diagonais dividido por dois.

D → diagonal maior
d → comprimento da diagonal menor

Exemplo: Qual é a área do losango que possui diagonal maior igual a 4 centímetros e diagonal menor igual 3 centímetros?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Um terreno possui o formato de um losango, conforme a imagem a seguir, com as medidas dadas em metros.

Para cercar o terreno, Matheus precisa saber qual é o perímetro desse losango. Para que ele não precise ir até o terreno realizar a medida dos lados, ele utilizou a propriedade do losango para encontrar o seu perímetro. Supondo que ele tenha acertado, o valor encontrado para o perímetro desse terreno é:

A) 100 metros.

B) 10 metros.

C) 12 metros.

D) 120 metros.

E) 150 metros.

Resolução

Alternativa D.

Note que o comprimento do lado não é conhecido, então utilizaremos a relação pitagórica para encontrar o lado desse losango.

Calculando a metade do comprimento de cada uma das diagonais:

D = 16 → D/ 2 = 8
d = 12 → d/2 = 6

Então, sabemos que:

l² = 8² + 6²
l² = 64 + 36
l² = 100
l = √100
l = 10 metros

Agora é possível calcular o perímetro:

P = 4l P = 4 · 30

P = 120 metros

Questão 2 - Qual é a área de um losango que possui diagonal maior de 15 centímetros e diagonal menor no valor de um terço da diagonal maior?

A) 37,5 cm²

B) 35 cm²

C) 75 cm²

D) 70 cm²

E) 45 cm²

Resolução

Alternativa A.

Considere:

d → comprimento da diagonal menor;

D → comprimento da diagonal maior.

Sabendo que a diagonal menor mede 1/3 da diagonal maior, então, para encontrar o comprimento d, basta dividir D por três:

D = 15 d = 15/ 3 = 5

Agora calculando a área, temos que:

Para calcular a área de um trapézio qualquer, somamos os comprimentos da base maior com o da base menor, multiplicamos o resultado da soma pela altura do trapézio e dividimos o produto por dois. Então, para calcular a área desse polígono, é importante reconhecer o que é um trapézio e cada um dos seus elementos.

Chamamos de trapézio uma figura plana fechada que possui quatro lados, sendo que dois deles são paralelos e os outros dois não. Os lados paralelos são conhecidos como bases, um deles é a base maior, e o outro a base menor do trapézio. Conhecemos três tipos de trapézio:

• o trapézio é escaleno quando os lados não paralelos são diferentes;

• o trapézio é isósceles quando os lados não paralelos são congruentes; e

• o trapézio é retângulo quando um lado não paralelo faz um ângulo de 90º com as bases da figura.

Leia também: Como estudar geometria para o Enem?

Resumo sobre trapézio

• Um trapézio é um polígono de quatro lados que possui dois lados paralelos conhecidos como base e dois lados não paralelos conhecidos como lados oblíquos.

• Para calcular a área do trapézio, utilizamos a fórmula:

• Existem três tipos de trapézio, são eles: trapézio escaleno, trapézio isósceles e trapézio retângulo.

O trapézio é um tipo de quadrilátero, sendo uma forma geométrica bastante recorrente. O que faz com que um quadrilátero seja classificado como um trapézio é o fato de ele possuir dois lados paralelos e dois lados não paralelos, conhecidos como lados oblíquos.

Fórmula da área do trapézio

Para calcular a área de um trapézio, é necessário conhecer o valor da base maior B, da base menor b e da altura h do polígono, conhecendo o valor de cada uma delas, utilizamos a fórmula:

Como calcular a área do trapézio?

Vejamos o exemplo a seguir de como calcular a área de um trapézio.

Exemplo 1:

Calcule a área do trapézio a seguir.

Para calcular a área do trapézio, temos que B = 24 cm, b = 9 cm e h = 15 cm. Agora, vamos substituir na fórmula da área do trapézio.

Exemplo 2:

Um trapézio possui base maior medindo 20 cm, base menor medindo 12 cm e altura de 15 cm, então, sua área é igual a:

Sabemos que B = 20, b = 12 e h = 15, substituindo na fórmula da área do trapézio, temos que:

Veja também: Quais as diferenças entre figuras planas e espaciais?

Tipos de trapézios

Podemos classificar um trapézio de acordo com as suas características. Um trapézio pode ser classificado como escaleno, isósceles ou retângulo.

Um trapézio é classificado como escaleno quando os seus lados oblíquos não são congruentes.

Um trapézio é classificado como retângulo quando um dos seus lados oblíquos faz com as bases um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º.

Um trapézio é classificado como isósceles quando possui os lados oblíquos congruentes, ou seja, com a mesma medida.

Veja também: O que são sólidos geométricos?

Exercícios resolvidos sobre área do trapézio

Questão 1 - (Enem 2017) Um fabricante recomenda que, para cada m² do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir, encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas:

O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor correspondente ao de uma pessoa. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.

Tipo I: 10 500 BTUh

Tipo II: 11 000 BTUh

Tipo III: 11 500 BTUh

Tipo IV: 12 000 BTUh

O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.

Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.

A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução

Alternativa C

Primeiro calcularemos a área do ambiente, que é um trapézio de base maior medindo 3,8 metros, base menor medindo 3 metros e altura de 4 metros.

Para cada m², são recomendados 800 BTUh, logo, serão 13,6 · 800 = 10 880 BTUh para climatizar o ambiente. Além disso, é especificado que, no caso de objetos que transmitem calor, é necessário acrescentar 600 BTUh. No caso, há uma centrífuga nesse ambiente, então, somaremos:

10880 + 600 = 11480 BTUh, por fim, nesse caso, o supervisor vai escolher o aparelho III.

Questão 2 - Um trapézio isósceles possui lados oblíquos medindo 5 cm, além disso, sua base menor mede 10 cm e sua base maior mede 16 cm, então, a área desse trapézio é de:

A) 42 cm²

B) 47 cm²

C) 52 cm²

D) 65 cm²

Resolução

Alternativa C

Primeiro faremos o desenho desse trapézio:

Queremos encontrar o valor de h. Note que formamos dois triângulos retângulos quando traçamos as alturas do trapézio, como ele é isósceles, as bases desses triângulos são congruentes, então, temos que 16 – 10 = 6 cm. Sendo assim, há 3 cm em cada base do triângulo, conforme a imagem a seguir:

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que:

5² = 3² + h²

25 = 9 + h²

25 – 9 = h²

16 = h²

h = √16

h = 4

Conhecendo a altura, então, é possível calcular a área, pois a base maior mede 16 cm, a base menor 10 cm e a altura, 4 cm.