 Show O quadrado é uma figura geométrica quadrilátera, pois possui quatro lados, e regular, ou seja, todos os 4 lados possuem a mesma medida e formam 4 ângulos retos (de 90 graus). O quadrado possui ainda a diagonal, que é a medida de um canto do quadrado até o canto oposto, conforme a linha pontilhada. Calcular perímetro de um quadradoCalcular o perímetro de um quadrado é muito fácil, já que todos os seus lados são iguais. Você já sabe que o perímetro é a soma da medida de todos os contornos de uma figura geométrica bidimensional. Para determinar o perímetro de um quadrado, basta multiplicar o valor de um de seus lados (L) por 4: P = L . 4. Uma curiosidade sobre o perímetro de um quadrado é que, para uma determinada área, ele vai ser o menor em relação às outras figuras geométricas. Vamos exemplificar: Vamos imaginar que um fazendeiro cedeu 25 m² de sua fazenda para sua mulher cercar e fazer um canteiro de flores, mas avisou, ela tem que gastar a menor quantidade possível de tela, que vai ser o perímetro. Qual seria o formato do canteiro que utilizaria menos tela? Ela pensou em duas opções: fazer um cercado retangular de 4m de largura e 6,25m de comprimento, ou fazer um cercado de 5m de largura por 5m de comprimento. Ambas terão 25m², mas qual vai gastar menos tela? Vamos calcular o perímetro de cada um. Para a primeira opção, o perímetro vai ser: P = 4 + 4 + 6,25 + 6,25 = 20.5 Nessa opção, ela vai gastar 20.5 metros de tela. Na segunda opção:
Nessa opção, o gasto vai ser de 20 metros, ou seja, 0.5 metro a menos que a primeira opção. Essa é a forma mais fácil de calcular o perímetro de um quadrado: ou somando os quatro lados, ou multiplicando um lado por 4.
Vamos considerar outro exemplo. O fazendeiro liberou outros 100 m² para a mulher fazer um pequeno pomar. Ela já sabe que o quadrado vai usar a menor quantidade de tela, mas como ela vai saber quantos metros de cada lado a área vai ter? Essa forma de calcular o perímetro é utilizada quando não sabemos a medida do lado do quadrado, mas sabemos sua área. Para saber o perímetro a partir da área, basta usar a fórmula P = 4 .√A, sendo A = área, e √A a medida do lado do quadrado. Vamos ver quantos metros terá o perímetro do pomar:
Pronto! O perímetro vai ser de 40m, e cada lado do pomar terá 10m. Vamos usar outra situação. Desta vez, o fazendeiro liberou uma área circular que havia aparecido em sua plantação. Esse círculo possui 10 metros de raio. Ele disse à mulher que ela poderia usar a área dentro do círculo, desde que a cerca tivesse o formato de um quadrado, a cerca deveria ficar dentro do círculo, assim: Esse é um dos problemas que mais aparecem no Enem e nos vestibulares. Agora, a mulher precisa saber quantos metros de tela irá utilizar para cercar o perímetro, mas ela só tem a medida do raio do círculo, como calcular? Nesse caso, vamos calcular o perímetro de um quadrado inscrito no círculo. Observe que o valor do raio corresponde a exatamente metade de uma diagonal do quadrado, mas precisamos saber a medida de seu lado. Para isso, vamos usar o teorema de Pitágoras! Quando temos um quadrado, conhecendo o valor de sua diagonal, podemos calcular a medida do seu lado dividindo-o ao meio, e calculando sua metade como um triângulo retângulo, veja: Se o valor do raio é metade da diagonal, então o valor da diagonal será 2r. O raio desse círculo mede 10m, logo, a diagonal será 2.10 = 20, esse será o valor da hipotenusa do nosso triângulo retângulo. Agora, no teorema de Pitágoras, o valor do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, mas para calcular um dos lados, precisamos das medidas dos outros dois lados, certo? Sim, mas aqui, estamos calculando o triângulo à partir de um quadrado, e portanto os catetos (que são os lados do quadrado) terão a mesma medida. Assim, não precisamos usar duas incógnitas a e b. Por exemplo, se a medida de um cateto fosse 10, a medida do outro também seria 10, então, o cálculo poderia ser tanto pela soma 10 + 10, quanto pela multiplicação 2 . 10. Como vamos utilizar as incógnitas, o cálculo poderia ser “a + b”, ou “2 . a” ou “2 . b”, o resultado seria o mesmo. No teorema, em vez de usarmos a² + b², utilizaremos 2 . a², ou 2a²: 2a² = 20² 2a² = 400 Vamos simplificando os elementos, até chegarmos ao valor de “a”. Primeiro vamos passar o 2 para o outro lado da igualdade, dividindo: a² = 400 /2 a² = 200 E agora vamos passar a potência para o outro lado, como raiz quadrada: a = √200 a = 14,1421 Chegamos ao valor da medida de cada cateto, que é a medida do lado do quadrado. Agora, basta calcular o perímetro com a fórmula básica. Se o lado do quadrado é 14,1421, então: P = 4 . 14,1421 P = 56,5684 Agora você já sabe as três formas de calcular o perímetro de um quadrado, veja abaixo como calcular a área. Calculando a área de um quadradoA área é a quantidade de espaço dentro de um perímetro. Para calcular a área de um quadrado, a forma mais simples é multiplicar a medida de um lado (L) pelo outro, ou elevar um lado ao quadrado, A = L . L ou A = L²: A = 5 . 5 = 25m² ou A = 5² = 25m² A unidade de medida da área sempre vai ser em metros quadrados (ou centímetros). Existem outras unidades de medidas, mas são utilizadas para áreas muito extensas. Mas, e se não sabemos a medida dos lados do quadrado, mas temos o valor de sua diagonal? Nesse caso, podemos utilizar a mesma técnica para calcular o perímetro a partir da diagonal, utilizando o teorema de Pitágoras, ou usando a forma mais simples, com a seguinte fórmula:
Sendo D, a medida da diagonal. Vamos supor que a diagonal tenha 15 metros:
E quando somente o perímetro é conhecido? Esse é fácil, sabemos que o perímetro é o lado multiplicado por 4. Para determinar a medida do lado, então basta dividir o perímetro por 4. Dado o perímetro de 180 metros, qual é a área do quadrado?
Exercício resolvido Enem 2011 – Área e perímetro
Nessa questão, a primeira coisa que vamos calcular é o perímetro de cada opção. Terreno 1: P = 55 + 55 + 45 + 45 = 200 Terreno 2: P = 55 . 4 = 220 (é um quadrado!) Terreno 3: P = 60 + 60 + 30 + 30 = 180 Terreno 4: P = 70 + 70 + 20 + 20 = 180 Terreno 5: P = 95 + 95 + 85 + 85 = 360 De acordo com o que aprendemos, a opção que teria a maior área seria um quadrado, sua área seria:
Mas, veja que no enunciado da questão, a quantidade máxima de tela para cercar a praça é de 180m, ou seja, não seria suficiente para cercar a área da opção 2, que tem perímetro de 220 metros. As únicas duas opções que satisfazem a condição, e tem um perímetro de 180 metros, são os terrenos 3 e 4, mas qual deles tem a maior área? Para isso, basta aplicar a fórmula de cálculo da área, mas, nessa questão, a figura a ser calculada não é um quadrado, mas sim um retângulo, portanto, a fórmula a ser utilizada é a multiplicação da largura pela altura: A = l . a No terreno 3:
No terreno 4
Portanto, a opção que satisfaz a condição do tamanho do perímetro e possui a maior área, é o terreno 3, opção correta C. |
Como calcular o perimetro com raiz quadrada
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