Como escrever raiz quadrada na forma reduzida

Existem diversos modos de se resolver uma equação do segundo grau, contudo, nem sempre essas formas apresentam o melhor método de resolução. Dessa maneira, para agilizar a solução de exercícios de um modo geral, apresentaremos três passos que facilitarão bastante o processo!

Os três passos seguintes baseiam-se na fórmula de Bhaskara, que é o método resolutivo para equações do segundo grau mais popular entre os estudantes.

Primeiro passo: Escreva os valores numéricos dos coeficientes a, b e c.

Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0. Desse modo, o coeficiente a é o número que multiplica x2. O coeficiente b é o número que multiplica x e o coeficiente c é um número real. Portanto, dada uma equação do segundo grau, escreva os valores de a, b e c de forma clara, objetiva e evidente para que eventuais consultas a esses valores sejam feitas rapidamente.

Como exemplo, vamos escrever os coeficientes da equação 2x2 + 8x – 24 = 0.

a = 2, b = 8 e c = – 24

Segundo passo: Calcule o valor de delta.

O valor de delta é dado pela seguinte expressão: Δ = b2 – 4ac, em que a, b e c são coeficientes da equação e Δ é delta.

Tomando o exemplo anterior, na equação 2x2 + 8x – 24 = 0, delta vale:

Δ = b2 – 4ac

Δ = 82 – 4·2·(– 24)

Δ = 64 + 192

Δ = 256

Terceiro passo: calcule os valores de x da equação.

Após calcular o valor de delta, os valores de x podem ser obtidos por meio da seguinte expressão:

x = – b ± √Δ
      2·a

Observe que nessa expressão aparece o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: o primeiro para a √Δ (raiz de delta) negativa e o segundo para √Δ positiva.

Tomando o exemplo já citado, observe a conclusão do terceiro passo:

x = – b ± √Δ
      2·a

x = – 8 ± √256
       2·2

x = – 8 ± 16
       4

Para √Δ negativa, teremos:

x' = – 8 – 16 = –24 = –6
           4           4         

Para √Δ positiva, teremos:

x'' = – 8 + 16 = 8 = 2
             4        4      

Observações importantes:

Ao calcular o valor de Δ, o aluno depara-se com o jogo de sinais. É preciso ter extrema atenção ao termo “– 4ac”, pois, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo em virtude do jogo de sinais.

O mesmo ocorre ao encontrar os valores de x. Repare que existe um “– b” na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, – b será positivo (+ b).

O valor de Δ pode ser utilizado como parâmetro para decidir como serão as raízes da equação. Uma equação em que Δ > 0 possui duas raízes reais distintas, uma equação em que Δ = 0 possui duas raízes reais iguais ou uma raiz real dupla, isto é, x' = x'', e uma equação em que Δ < 0 não possui raízes reais.

Para ajudar a decorar as fórmulas utilizadas, sempre as escreva em seu caderno para cada exercício que for resolvido, recitando-as em voz alta.

Exemplo:

Quais são as raízes da equação x2 – x – 30 = 0?

Passo 1: a = 1, b = – 1 e c = – 30.

Passo 2: cálculo do valor de delta

Δ = b2 – 4ac

Δ = (–1)2 – 4·1·(–30)

Δ = 1 + 120

Δ = 121

Passo 3: Calcule os valores de x:

x = – b ± √Δ
     2·a

x = – (–1) ± √121
      2·1

x = 1 ± 11
      2

x' = 1 + 11 = 12 = 6
   2         2

x'' = 1 – 11 = – 10 = – 5
2          2

Logo, as raízes ou valores de x para essa equação são 6 e – 5.

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Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c  IR e

    Exemplos:

• x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

• 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

• 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.

• x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a  é sempre o coeficiente de  x²;

b  é sempre o coeficiente de x,

c  é o coeficiente ou termo independente.

Equações completas e incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

Entre as formas de se encontrar o valor numérico de x, processo também conhecido como encontrar as raízes de uma equação ou encontrar a solução de uma equação, destacam-se: Fórmula de Bhaskara e o processo de completar quadrados. Esse último é o foco do texto de hoje.

A quantidade de soluções de uma equação é dada pelo grau dela. Portanto, equações do primeiro grau possuem apenas uma solução, equações do terceiro grau possuem três soluções e equações do segundo grau possuem duas soluções, também chamadas de raízes.

As equações do segundo grau, em sua forma reduzida, podem ser escritas da seguinte maneira:

ax2 + bx + c = 0

Método de completar quadrados

Caso em que a equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito

Equações do segundo grau resultantes de um produto notável são conhecidas como trinômio quadrado perfeito. Para encontrar suas raízes, utilizaremos o método exemplificado abaixo:

Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x + 9 = 0.

Observe que o coeficiente b é 6 = 2·3. Para escrevê-la na forma de produto notável, basta conferir se c = 32, o que é verdade, já que 32 = 9 = c. Dessa maneira, podemos escrever:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0

Observe que um produto notável é o produto entre dois polinômios iguais. No caso dessa equação, teremos:

(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0

Um produto somente é igual a zero quando um de seus fatores é igual a zero. Portanto, para que (x + 3)(x + 3) = 0, é necessário que (x + 3) = 0 ou (x + 3) = 0. Daí os dois resultados iguais para a equação x2 + 6x + 9 = 0, que são: x = – 3 ou x = – 3.

Resumindo: para resolver a equação x2 + 6x + 9 = 0, escreva:

x2 + 6x + 9 = 0

(x + 3)2 = 0

(x + 3)(x + 3) = 0

x = – 3 ou x = – 3

Caso em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito

Uma equação do segundo em que o coeficiente b e o coeficiente c não cumprem as relações estabelecidas acima não é um trinômio quadrado perfeito. Nesse caso, o método resolutivo anteriormente destacado pode ser utilizado com a adição de alguns passos. Observe o exemplo a seguir:

Exemplo: Calcule as raízes da equação x2 + 6x – 7 = 0.

Observe que essa equação não é um trinômio quadrado perfeito. Para que ela seja, podemos utilizar as seguintes operações:

Observe que b = 2·3, portanto, no primeiro membro, a expressão que deve aparecer é x2 + 6x + 9, pois nessa expressão b = 2·3 e c = 32.

Para essa “transformação”, adicione 32 nos dois membros dessa equação, “passe” o – 7 para o segundo membro, realize as operações possíveis e observe os resultados:

x2 + 6x – 7 + 32 = 0 + 32

x2 + 6x + 32 = 32 + 7

x2 + 6x + 9 = 9 + 7

x2 + 6x + 9 = 16

(x + 3)2 = 16

√(x + 3)2 = √16

x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4

Essa última etapa deve ser dividida em duas equações, pois a raiz de 16 tanto pode ser 4 como – 4 (isso ocorre apenas em equações. Caso lhe perguntem qual é a raiz de 16, a resposta é apenas 4). Então, é necessário encontrar todos os resultados possíveis. Continuando:

x + 3 = 4 ou x + 3 = – 4

x = 4 – 3 ou x = – 4 – 3

x = 1 ou x = – 7

Caso em que o coeficiente “a” não é igual a 1

Os casos anteriores são destinados a equações do segundo grau onde o coeficiente “a” é igual a 1. Se o coeficiente “a” for diferente de 1, basta dividir toda equação pelo valor de “a” e prosseguir com os cálculos da mesma forma que o caso anterior.

Exemplo: Calcule as raízes de 2x2 + 16x – 18 = 0

Observe que a = 2. Portanto, divida toda a equação por 2 e simplifique os resultados:

2x2 + 16x – 18 = 0
 2        2      2     2

x2 + 8x – 9 = 0

Feito isso, repita os procedimentos do caso anterior.

x2 + 8x – 9 = 0

x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16

x2 + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)2 = 25

√(x + 4)2 = √25

x + 4 = 5 ou x + 4 = –5

x = 5 – 4 ou x = – 5 – 4

x = 1 ou x = – 9

Produtos notáveis e as equações do segundo grau: Origem do método de completar quadrados

As equações do segundo grau em muito se parecem com os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença.

O quadrado da soma, por exemplo, é uma soma de dois monômios elevada ao quadrado. Observe:

(x + k)2 = x2 + 2kx + k2

O primeiro membro da igualdade acima é conhecido como produto notável e o segundo como trinômio quadrado perfeito. Este ultimo em muito se parece com uma equação do segundo grau. Observe:

Trinômio quadrado perfeito: x2 + 2kx + k2

Equação do segundo Grau: ax2 + bx + c = 0

Dessa maneira, caso haja alguma maneira de escrever uma equação do segundo grau como um produto notável, talvez haja também uma forma de encontrar seus resultados sem a necessidade de utilizar a fórmula de Bháskara.

Para tanto, observe que, no produto notável acima, a = 1, b = 2·k e c = k2. Dessa maneira, é possível escrever equações que cumprem esses requisitos na forma de produto notável.

Portanto, observe os coeficientes da equação. Se “a” for diferente de 1, divida toda a equação pelo valor de “a”. Caso contrário, observe o coeficiente “b”. O valor numérico de metade deste coeficiente deve ser igual ao valor numérico da raiz quadrada do coeficiente “c”. Matematicamente, dada a equação ax2 + bx + c = 0, se a = 1 e, além disso:

b = √c
2        

Então, pode-se escrever essa equação da seguinte maneira:

ax2 + bx + c = (x + b) = 0
                      2

E as suas raízes serão – b e + b.
                                    2       2

Dai vem toda a teoria utilizada para calcular raízes de equações do segundo grau pelo método de completar quadrados.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática