Quando estudamos os números naturais, aprendemos a calcular a raiz quadrado de um número natural. Veja: Acontece que no conjunto dos números inteiros existem dois números que, elevados ao quadrado, dão 81. São eles: 9 e o –9. Então deveríamos ter: Como, porém, o resultado de uma operação deve ser único, os matemáticos decidiram que a raiz quadrada de um número inteiro, quando existir, deve ser um número inteiro não-negativo. Assim: Veja outros exemplos:
Raiz quadrada de números inteiros. Os números que são quadrados de outro se denominam números quadrados perfeitos. Assim, 0, 1, 4. 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,. .São quadrados perfeitos. Veja tabela :
Só os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata. Não há quadrado perfeito que termine em 2, 3, 7, 8 ou em número ímpar de zeros. RAIZ QUADRADA APROXIMADA.Para os números que não são quadrados perfeitos, consideraremos uma raiz quadrada aproximada conforme veremos a seguir; Seja , por exemplo, o número 31 ( que não é quadrado perfeito ). Observemos que: 25 <31<36> 5 2 <31>36 Quadrado perfeito mais próximo e maior que 31
Quadrado perfeito mais próximo e menor que 31. Daí: 5 é o maior número natural cujo quadrado é menor que 31 6 é o menor número natural cujo quadrado é maior que 31 Costuma-se tomar como raiz quadrada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximada por falta.
está representação apresenta a aproximação com uma casa decimal 374. Raiz de um numero é um dos fatores iguais que produziram esse numero. As raízes, bem como as potências, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cúbica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc. Raiz quadrada de um numero é um dos dois fatores iguais desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5. Raiz cúbica de um numero é um dos três fatores iguais desse numero; assim a raiz cúbica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4. A quarta raiz de um numero é um dos quatro fatores iguais desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 = = 3 X 3 X 3 X 3 375. A figura chama-se sinal radical, e quando está escrito sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo índice.Índice é o numero escrito no ângulo do sinal radical, para mostrar o grau da raiz; assim lê-se: raiz quadrada de 16. lê-se: raiz cúbica de 216. lê-se: raiz quarta raiz de 625. lê-se: décima raiz de 1024.Nota. O sinal é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz. Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o sinal , ficando subentendido o índice 2. Qualquer raiz de 1 é sempre 1, porque 1 X 1 X 1 = 1. 376. Os quadrados perfeitos desde 1 até 100 são os seguintes:
Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez números inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, produtos de dois fatores iguais, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros números intermediários não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos números inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos. Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada pode ser exatamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exata, que é 8. Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não pode ser exatamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fração. Esta raiz, por mais aproximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exatamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distingui-la da raiz exata dos quadrados perfeitos. 377. Pela simples inspeção de um numero qualquer, não podemos saber se ele é ou não quadrado perfeito, sem extrair-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou teoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos números não são quadrados. Esses teoremas são os seguintes:
Extração da raiz quadrada 378. Extrair a raiz quadrada de um numero é achar o fator que, multiplicado por si, produz esse numero. Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem três algarismos, porque este numero consta de três classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, pode ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio: Quantas classes tiver um numero, tantos algarismos terá a sua raiz quadrada. Problema. Qual é a raiz quadrada de 576? Solução analítica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades. Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o produto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.
Algarismos das unidades. Desde que o producto das dezenas multiplicadas por um numero inteiro de unidades nunca póde ser inferior a 10, podemos separar do resto 176 o algarismo das unidades, que é 6, para operarmos sómente com as 17 dezenas completas. Sendo as 17 dezenas duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, segue-se que se dividirmos 17 por duas vezes as dezenas, isto é, por 2 + 2 = 4, obteremos o algarismo das unidades. Ora, 17 / 4 = 4, portanto 4 é o algarismo das unidades da raiz. Resta agora verificar se o resto 176 contém 2 (20 X 4) = 160, mais 4 X 4 = 16. Ora 160 + 16 = 176, e do resto 176 subtrahindo 176, nada resta. Fica, portanto, demonstrado que 576 é um quadrado perfeito, e que a sua raiz quadrada é 24. Fonte: Professor Valdir Paes Adaptado : Professor - Roberto Carvalho . Page 2
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