Como saber tirar a raiz quadrada

Apresentamos a nossa calculadora de raiz quadrada. Você só precisa digitar o número para o qual você deseja calcular a raiz e pressionar o botão para obter o resultado. Você pode tambem calcular raízes com diferentes indices (raiz cubica, raiz quarta,…) ou fazer a operação inversa da raiz (exponenciação).

3 opções para o cálculo:

Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
1| 

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
   9 | 3
   3 | 3
 1 | 

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
  625 | 5
  125 | 5
    25 | 5
      5 | 5
   ?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. 

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

1. 1

   Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,

   
   se torna
   
   . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
     
     . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
     
     na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
     
     ) na região direita superior.

2. 2

   Descubra qual é o maior

   
   inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
     
     . Como se sabe que
     
     , é possível afirmar que
     
     , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
     
     no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
     
     (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

3. 3

   Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
     
     .

4. 4

   Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:

   
   .
   • No exemplo, o próximo par à disposição é
     
     . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
     
     . Escreva no canto direito inferior, seguido por
     
     .

5. 5

   Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com
     
     dá como resultado:
     
     . Esse é um valor maior que
     
     . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
     
     . Confirma-se que ele atende à necessidade porque
     
     , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .

6. 6

   Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo,
     
     será subtraído de , resultando em
     
     .

7. 7

   Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (

   
   ) como previamente.
   • No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
     
     ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
     
     ), obtém-se
     
     — escreva
     
     no quadrante direito inferior.

8. 8

   Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo,
     
     , que é menor ou igual ao número à esquerda (
     
     ). Observando-se que
     
     , que é alto demais, você chega à conclusão de que
     
     é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
     
     .

9. 9

   Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

1. 1

   Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área

   
   de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
   
   , onde
   
   representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.

2. 2

   Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável

   
   como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
   
   como sendo a segunda,
   
   como sendo a terceira e assim por diante.

3. 3

   Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável

   
   ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
   
   ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

4. 4

   Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

5. 5

   Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que

   
   ). No exemplo,
   
   e
   
   , de modo que
   
   .
   • Em um exemplo, se você quisesse dividir
     
     por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
     
     de modo que
     
     . Nesse caso, seria igual a
     
     .

6. 6

   Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais

   
   , no caso de uma resposta com três casas decimais
   
   e assim por diante.
   • No exemplo,
     
     . Lembre-se de que
     
     representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
     
     e
     
     como exemplo, resultará no número
     
     . Se
     
     representa a área do quadrado,
     
     representa a área do maior quadrado interno,
     
     representa a área do menor quadrado interno e
     
     representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

7. 7

   Subtraia

   
   de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
   
   representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
   
   obtido no Passo 4 (
   
   no exemplo supracitado). Aqui,
   
   (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

8. 8

   Procure por , também escrito como

   
   . No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
   
   . Por fim, você restará com
   
   .

9. 9

   Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por

   
   ), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
   
   . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
   
   (sendo
   
   ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .

10. 10

    Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área

    
    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

11. 11

    Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (

    
    ) de a fim de obter
    
    à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
    
    (equivalente a escrever duas vezes o valor
    
    com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.