Como transformr 3 7 em raiz quadrada

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.

Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?

Por tentativa podemos descobrir que:

5 x 5 x 5 = 125, ou seja,

Escrevendo na forma de raiz, temos:

Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.

Símbolo da Radiciação

Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:

Sendo,

n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.

Exemplos de radiciação:

(Lê-se raiz quadrada de 400)

(Lê-se raiz cúbica de 27)

(Lê-se raiz quinta de 32)

Propriedades da Radiciação

As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.

1ª propriedade:

Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.

Exemplo:

2ª propriedade:

Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.

Exemplos:

3ª propriedade:

Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.

Exemplos:

4ª propriedade:

A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada.

Exemplo:

Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: .

Exemplo:

5ª propriedade:

A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices.

Exemplo:

Radiciação e Potenciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.

Observe:

Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.

Exemplos:

, pois sabemos que 92 = 81

, pois sabemos que 104 = 10 000

, pois sabemos que (–2)3 = –8

Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação.

Simplificação de Radicais

Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.

Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:

1. Fatorar o número em fatores primos.
2. Escrever o número na forma de potência.
3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).

Exemplo:Calcule

1º passo: transformar o número 243 em fatores primos

2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz

3º passo: simplificar o radical

Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.

, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.

Assim, .

Veja também: Simplificação de radicais

Racionalização de Denominadores

A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.

1º caso – raiz quadrada no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante .

2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando.

3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador

Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois .

Operações com Radicais

Soma e Subtração

Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

1º caso – Radicais semelhantes

Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Veja como fazer:

Exemplos:

2º caso – Radicais semelhantes após simplificação

Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

3º caso – Radicais não são semelhantes

Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Exemplos:

(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)

Multiplicação e Divisão

1º caso – Radicais com mesmo índice

Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.

Exemplos:

2º caso – Radicais com índices diferentes

Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

Saiba também sobre

• Raiz Quadrada
• Expressões Numéricas
• Exercícios de Potenciação

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

Calcule os radicais a seguir.

a)

b)

c)

d)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8.

a)

b)

c) a raiz do número zero é o próprio zero.

d)

Questão 2

Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação.

a)

b)

c)

d)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5.

a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades

Portanto,

b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade

Portanto,

c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade

Portanto,

d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade

Portanto,

Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais

Questão 3

(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3.

1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC.

2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.

3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP).

Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3.

(Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a)
b)
c)
d)
e)