Como usar fatoração para calcular raiz quadrada

A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3).

Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.

Como calcular a raiz quadrada?

Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.

No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.

Quanto é a raiz quadrada de √2704?

Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.

No exemplo acima, temos

Portanto, a √2704 é 52.

Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:

• Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: .
• Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo:

Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.

Exemplos:

• 49 é o quadrado perfeito de 7, pois
• 144 é o quadrado perfeito de 12, pois
• 256 é o quadrado perfeito de 16, pois
  

Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais.

Você sabia?

Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.

Exemplos

Raiz Quadrada de 2

√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata)

√3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 5

√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 8

√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 9

√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)

Raiz Quadrada de 25

√25 = 5 (pois 52 é igual a 25)

Raiz Quadrada de 36

√36 = 6 (pois 62 é igual a 36)

Raiz Quadrada de 49

√49 = 7 (pois 72 é igual a 49)

Raiz Quadrada de 64

√64 = 8 (pois 82 é igual a 64)

Raiz Quadrada de 100

√100 = 10 (pois 102 é igual a 100)

Raiz Quadrada de 144

√144 = 12 (pois 122 é igual a 144)

Raiz Quadrada de 196

√196 = 14 (pois 142 é igual a 196)

Raiz Quadrada de 400

√400 = 20 (pois 202 é igual a 400)

Saiba mais sobre Quadrado Perfeito.

Exercícios resolvidos com raiz quadrada

Questão 1

(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:

a) 59 b) 47 c) 41 d) 57

e) 1

(UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

I.

II.

III.

É (são) verdadeira(s), somente:

a) I. b) II. c) III. d) I e II.

e) I e III.

Questão 3

(UFRGS) A expressão

a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2

e) 1

Veja também: Fatoração de Polinômios

Símbolo da Raiz Quadrada

O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x.

Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.

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