Determine x de modo que os pontos a(1 3) b(x 1) e c(3 5) sejam os vértices de um triângulo

O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, que, por sua vez, é um dos mais simples polígonos conhecidos. Essa figura geométrica é vastamente estudada, e um dos pontos que merecem atenção é o conceito de baricentro.

Conhecemos como baricentro o centro de gravidade do triângulo. Para encontrá-lo, é necessário determinar as suas três medianas, bem como o ponto de encontro entre elas. Quando o triângulo está representado no plano cartesiano, para encontrar o baricentro, basta calcular a média aritmética entre os valores de x e de y para encontrar o par ordenado do baricentro.

Leia também: Como os triângulos são classificados?

O que é o baricentro?

O triângulo possui pontos importantes, conhecidos como pontos notáveis, e o baricentro é um deles, junto com o circuncentro, o incentro e o ortocentro. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e é representado pela letra G. Ele está localizado no encontro das medianas do triângulo.

A mediana de um triângulo é um segmento que parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Em um triângulo qualquer, é possível traçar as três medianas, cada uma delas partindo de um dos vértices.

Quando traçamos simultaneamente as três medianas, as três se encontram em um único ponto. Esse ponto, representado por G, é o baricentro.

Propriedades do baricentro

• Propriedade 1: o baricentro é sempre um ponto interno do triângulo.

Como a mediana é sempre um segmento interno do triângulo, consequentemente o baricentro também é, independentemente da sua forma.

• Propriedade 2: o baricentro divide a mediana em duas partes cuja razão é 1:2.

Analisando o triângulo representado anteriormente, temos que:

Quando representado no plano cartesiano, é possível encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo. Para isso, vamos calcular a média aritmética dos valores de x e também dos valores de y.

Note que os vértices são A (xA, yA), B(xB, yB) e C (xC, yC), então, para encontrar as coordenadas do baricentro G (xG, yG), utilizamos a fórmula:

Veja também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Podemos afirmar que o baricentro do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,1), B (- 3, 5) e C (4,3) é o ponto:     

A) G (1,3).

B) G (3,1).

C) G (3,3).

D) G (-2,-1).

E) G ( -1,3).

Resolução

Alternativa A. Para encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo, vamos calcular a média aritmética entre os valores de x nos pontos A, B e C e entre os valores de y nos mesmos pontos.

Sendo assim, o baricentro é o ponto G (1,3).

Questão 2 – Em uma cidade, serão instaladas três torres de telefonia para resolver o problema com a falha na rede e no sinal para os celulares. Acontece que as posições dessas torres foram planejadas de modo que o centro da cidade coincida com o baricentro do triângulo com vértices em A, B e C, que são as localizações das torres. Para escolher a posição das torres, definiu-se a prefeitura como a origem do eixo, e o centro da cidade se localiza no ponto (1,-1). Certificaram-se que as localizações dos pontos A e B seriam A(12, -6), B(-4,-10). Sendo assim, qual deve ser a localização do ponto C?

A) (3,8) B) (8,-13) C) (3,8) D) (-5, 13)

E) (-5, 8)

Resolução

Alternativa D. Sabemos que G é a localização do centro da cidade, que é o ponto de coordenadas (1,-1).

Seja (x,y) as coordenadas do ponto C, então:

Encontrando também o valor de y:

Desse modo, chegamos a C (-5, 13).

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

| MA141 - Geometria Analítica | Produto escalar

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857   

Dados três pontos $A=(1,-5,8)$, $B=(5,2,4)$ e $C=(3,9,1)$, ache três pontos diferentes tais que cada um deles forma com $A,B,C$ um paralelogramo.

986   

O vetor $w$ é ortogonal aos vetores $u=(2,3,-1)$ e $v=(1,-2,3)$ e $w\cdot(2,-1,1) = -6$. Encontre  $w$.

834   

Determinar os ângulos internos de um triângulo $ABC$, sendo$A=(3,-3,3)$, $B=(2,-1,2)$ e $C=(1,0,2)$.

779   

1. Demonstre que se $\alpha$ e $\beta$ são números reais tais que $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$, então $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.

2. Qual a conclusão geométrica que podemos tirar do item acima?

1.  $\alpha(2,3) + \beta(3,2) = \vec{0}$ resulta no sistema cujas equações são: $2\alpha+3\beta=0$ e $3\alpha+2\beta=0$.
   Resolvendo o sistema, obtemos $\alpha=\dfrac{-3}{2}\beta=\dfrac{-2}{3}\beta$ que só pode ser satisfeita se $\beta=0$. E, portanto, $\alpha=0$.
2. Podemos concluir que esses dois vetores são linearmente independentes, isso significa que eles tem direções distintas.

990   

1. Estude o ângulo entre os vetores $\vec{i}$ e $\vec{j}$ no plano. Faça o mesmo no $\mathbb{R}^{3}$ em relação a $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$.

2. Escrevendo os vetores $u = x\vec{i} + y\vec{j}$ e $v = a\vec{i} + b\vec{j}$, verifique que $\langle u,v\rangle = xa\langle\vec{i},\vec{i}\rangle + yb\langle\vec{j},\vec{j}\rangle$. Faça um estudo semelhante no espaço $\mathbb{R}^{3}$.

776   

Dado um triângulo isósceles, mostre que a mediana relativa à base é a mediatriz (isto é, é perpendicular à base).

Seja o triângulo isósceles $ABC$ onde $M$ é  a mediana do segmento $\ AC.$ Então, temos $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\Longrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\Longrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}.$ Também, temos que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=\left\Vert \overrightarrow{BM}\right\Vert ^{2}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{MB}$.

Assim, concluímos que $\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{MB}=\left\Vert \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) \right\Vert^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right) =\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}+\frac{1}{2}2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\left\Vert \overrightarrow{BC}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{BA}\right\Vert ^{2}=0$.

831   

Se de um ponto qualquer $R$ dentro de um paralelogramo $ABCD$ são traçados segmentos de reta paralelos aos lados, são formados quatro novos paralelogramos (isto é, o paralelogramo original é a união destes quatro paralelogramos menores). Mostre que as diagonais de quaisquer dois destes paralelogramos (que não sejam as diagonais que se interceptam no ponto $R$) se interceptam na reta suporte de uma das diagonais do paralelogramo original.

860   

1.  Sendo $A=(3,1)$ e $B=(3,-5),$ determinar os pontos $F$ e $G$ que dividem $AB$ em três segmentos de igual comprimento.

2. Calcular o comprimento de $\vec{AB}.$

1. $F=(3,-1)$ e $G=(3,-3)$

2. $|\vec{AB}|=6$

854   

Dados os vetores $a = (2,-3,6)$ e $b = (-1,2,-2)$, calcule as coordenadas do vetor $c$, bissetriz do ângulo formado pelos vetores $a$ e $b$, sabendo-se que $\|c \|= 3\sqrt{42}$.

985   

Sejam $u=(-1,1,1)$ e $v=(2,0,1)$ dois vetores. Encontre os vetores $w$ que são paralelos ao plano determinado por $O$, $u$ e $v$, perpendiculares a $v$ e tais que $u\cdot w=7$.

Os vetores $\vec{w}$ são da forma:

$\vec{w}=\left(-\frac{7}{3},\frac{14}{3},0\right)^T+\lambda\left(1/3,-2/3,1\right)^T$,  $\lambda\in\mathbb{R}$

858   

Sendo $A=(2,-5,3)$ e $B=(7,3,-1)$ vértices consecutivos de um paralelogramo $ABCD$  e $M=(4,-3,3)$ o ponto de interseção das diagonais, determine os vértices $C$ e $D$.

$C=(6,-1,3)$ e $D=(1,-9,7)$

820   

Para o par de vetores $u=(3,1,-3)$ e $v=(2,-3,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.

Posto que $u \cdot v=0$, $u$ e $v$ são ortogonais. Assim, a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ é zero. Nesse caso, $v_1=0$ e $v_2=v$.

782   

Mostre que o segmento que une os pontos médios de 2 lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e é igual a sua metade.

No triângulo $ABC,$ sejam $M$ o ponto médio de$\ AC$ e $N$ o de $BC$. Assim, podemos escrever$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$

Logo, $MN//AB$ e $\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert =\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert /2.$

812   

Seja $ABCD$ um tetraedro e $P$ um ponto qualquer dentro dele.  Ligue os vértices $A, B,C,D$ até o ponto $P$ e prolongue as linhas até que elas interceptem as faces opostas nos pontos $A',B',C',D'$, respectivamente. Mostre que vale a seguinte relação: $$\frac{PA'}{AA'}+\frac{PB'}{BB'}+\frac{PC'}{CC'}+\frac{PD'}{DD'}=1.$$

823   

Para o par de vetores $u=(1,2,-2)$ e $v=(3,-2,1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.

 $\textrm{proj}_{u}{v}=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$. $v_1=\dfrac{-1}{3}(1,2,-2)$. $v_2=\dfrac{1}{3}(10,-4,1)$.

994   

Seja $\vec{v}\ne 0$ um vetor do $\mathbb{R}^{3}$ e sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os ângulos que $\vec{v}$ faz com os eixos coordenados $X$, $Y$ e $Z$, respectivamente. Mostre que:

1. se $\|\vec{v}\| = 1$, então $\vec{v} = (\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$  (Dica: calcular os cossenos de $\alpha$,  $\beta$ e $\gamma$ fazendo o produto escalar de $\vec{v}$    com os vetores de comprimento $1$ na direção dos eixos  coordenados. Como é um vetor de comprimento $1$ na  direção de $X$? Isto é, sobre o eixo $X$.).

2. para um vetor $\vec{v}$ qualquer, vale que $\vec{v} =    \|\vec{v}\|(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$.

3. $\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2} (\gamma) = 1$.

984   

Sejam $A=(-1,2,3)$, $M=(-1,3,2)$ e $N=(1,1,3)$. O triângulo $ABC$ tem ângulos $A=90^\circ$ e $B=30^\circ$ e os vértices $B$ e $C$ pertencem à reta $MN$. Encontre os vértices $B$ e $C$.

817   

Sejam os pontos $A=(-1,-1,2),\;B=(2,1,1) \;\mbox{e}\;C=(m,-5,3)$.

1. Para que valores de $m$ o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$?

2. Determinar o ponto $H$, pé da altura relativa ao vértice $A$.

833   

Sabendo que $\| u \| = \sqrt{2}$, $\| v \|  = \sqrt{3}$ e que $u$ e $v$ formam um ângulo de ${3\pi}/4$, determinar:

1.  $| (2u-v)\cdot(u-2v)|$.

2.  $\|u-2v\|$.

1.  $| (2u-v)\cdot(u-2v)|=10+5\sqrt{3}$.
   
2.  $\|u-2v\|=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
   

778   

Decompor o vetor $w = (1,3,2)$ como soma de dois vetores $w = u + v$, onde $u$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $v$ é ortogonal a $(0,1,3)$.

$u=(0,11/10,33/10)$ e $v=(1,9/10,-3/10)$.

855   

Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que sejam válidas as seguintes relações?

1.   $\|a + b \| =  \|a - b \|$;

2.   $\| a + b \| > \| a - b \|$;

3.   $\| a + b \| < \| a - b \|$.

989   

1. Determine o conjunto de todos os vetores do espaço que são paralelos ao vetor $(1,1,1)$.

2. Descreva o conjunto de todos os vetores do espaço que são ortogonais ao vetor $(1,0,-1)$.

3. Qual o significado geométrico dos conjuntos encontrados nos itens (a) e (b)?

863   

Mostre que não existe $x$ tal que os vetores $v=(x,2,3)$ e $u=(x,-2,3)$ sejam perpendiculares.

Para que $v$ e $u$ fossem perpendiculares, seria necessário haver $x$ tal que $v\cdot u= x^2-4+9=0$, ou seja, $x$ tal que $x^2=-5$. Mas não há $x\in \mathbb{R}$ que satisfaça essa equação.

983   

Sejam $A=(2,1,2)$, $B=(1,0,0)$ e $C=(1+\sqrt 3,\sqrt 3,-\sqrt 6)$ três pontos no espaço. Calcule os ângulos do triângulo $ABC$, e os comprimentos da mediana e da altura que saem do vértice $A$.

991   

Considere os pontos $A = (3,-2,8)$, $B = (0,0,2)$ e $C = (2,3,2)$.

1. Usando vetores, mostre que o triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ é retângulo (Dica: O lado $BA$ é paralelo ao vetor $\stackrel{\longrightarrow}{BA}$).

2. Determine o ponto $H$ na aresta $AC$ para o qual os segmentos $AC$ e $HB$ são ortogonais ($=$ perpendiculares).

3. Determine o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$.  (Dica: $\stackrel{\longrightarrow}{AH}$ é a projeção  ortogonal de  $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ sobre  $\stackrel{\longrightarrow}{AC}$.)

4. Calcule a área do triângulo (Dica: área do triângulo = (1/2) de base $\times$ altura).

1400   

O trabalho $W$ realizado por uma força $\vec{F}$ sobre um objeto, agindo por uma distância $\vec{PQ}$, é dado por $W=\vec{F}\cdot\vec{PQ}$. Uma caixa é puxada horizontalmente por meio de uma força constante de $10N$ na direção do cabo e a um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Qual é o trabalho realizado para mover a caixa ao longo de $2m$?

Considerando um sistema de coordenadas tal que a caixa esteja inicialmente na origem e tenha posição final $(2,0)$, isto é, se move no eixo $x$, temos que a distância percorrida por ela é $\vec{PQ} = (2,0)$. Decompondo a força nas componentes vertical e horizonal:$$\vec{F} = (10\cos 60^\circ, 10 \sin 60^\circ) = (5,5\sqrt{3}).$$Dessa forma o trabalho realizado é dado por:

$$W = \vec{F}\cdot\vec{PQ} = (5,5\sqrt{3}) \cdot(2,0) = 10 N \ m.$$

819   

Sendo $A=(-2,3)\;\mbox{e}\; B=(6,-3)$ extremidades de um segmento, determinar:

1. Os pontos $C,\;D\;\mbox{e}\; E$ que dividem o segmento $AB$ em quatro partes de mesmo comprimento.

2. Os pontos $F\;\mbox{e}\; G$ que dividem o segmento $AB$ em três partes de mesmo comprimento.

995   

Dados os pontos $A = (2,3,0), \; B = (4,0,1)$ e $C = (0,1,2)$ no $\mathbb{R}^{3}$, determine:

1. O comprimento do lado $AB$.

2. A medida do ângulo entre os lados $BA$ e $BC$.

3. A área do triângulo $ABC$.

4. O comprimento da altura do triângulo $ABC$ relativa ao vértice $A$.

5. As coordenadas do ponto no lado $AC$ por onde passa a perpendicular a esse  lado que contém o ponto $B$.

6. Desenhe o triângulo $ABC$ no espaço $\mathbb{R}^{3}$. 

861   

No triângulo $ABC$, tem-se $\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{AC}$ e $\vec{AQ}=\frac{1}{2}\vec{AC}.$ Expressar os vetores $\vec{BP}$ e $\vec{BQ}$ em funçãao de $\vec{BA}$ e $\vec{BC}.$

853   

Provar, utilizando o produto escalar, que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.

Consideremos a semicircunferência de raio $R$ com centro na origem $O$ do sistema cartesiano e situada no semiplano $y\geq 0$. Sejam $A=(R,0)$, $B=(x,y)$ e $C=(-R,0)$ três pontos sobre esta semicircunferência, sendo $B$ um ponto qualquer tal que $x^2+y^2=R^2$. Assim, teremos que\begin{multline*}\vec{CB}\cdot\vec{AB}=(B-C)\cdot(B-A)=(x+R,y)\cdot(x-R,y)= \\ =(x+R)(x-R)+y^2 =x^2-R^2+y^2=(x^2+y^2)-R^2=R^2-R^2=0.\end{multline*} Ou seja, o triângulo inscrito $ABC$ é retângulo no vértice $B$.

815   

Mostre que o vetor $\displaystyle p=b-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a$ é perpendicular ao vetor $a$.

$\displaystyle p\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\;a\cdot a=b\cdot a-\frac{a\cdot b}{||a||^2}||a||^2=b\cdot a-a\cdot b\,\frac{||a||^2}{||a||^2}=b\cdot a-a\cdot b=0$.

864   

Encontre o ângulo entre os vetores $u=(2,1,0)$ e $v=(0,1,-1)$  e entre os vetores $w=(1,1,1)$ e $z=(0,-2,-2)$.

\(\arccos(\dfrac{\sqrt{10}}{10})\) e \(\arccos(-\sqrt{\dfrac{2}{3}})\), respectivamente.

813   

Dado $v_1=(1,-2,1)$, determine vetores $v_2$ e $v_3$  de modo que os três sejam mutuamente ortogonais.

$v_2=(1,1,1)$ e $v_3=(1,0,-1).$

988   

Sejam $a_{1},\, a_{2},\,a_{3},\,b_{1},\, b_{2},\,b_{3}$ seis números reais quaisquer. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: \[ (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3})^{2} \le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}) (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}). \]

824   

Mostre que as três bissetrizes de um triângulo se interceptam em um único poto.

Considere o triângulo $ABC$ e bissetriz $B$ e $C$. Então eles cruzam no interior do triângulo que denotaremos por $O.$ Como $O$ está sobre a bissetriz de $B$, ele é equidistante de $AB$ e $BC.$ Mas também está na bissetriz de $C$ de forma que $O$ é equidistante de $AC$ e $BC.$ Assim, $O$ é equidistante aos três lados. Agora considere $\ AO.$ Como $AO$ divide o ângulo $\ BAC$ e passa no ponto (fora do vértice) equidistante de $AB$ e $AC$, será bissetriz de $BAC.$

992   

Decompor o vetor $\vec{w} = (-1,-3,-2)$ como soma de dois vetores $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, onde $\vec{u}$ é paralelo ao vetor $(0,1,3)$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $(0,1,3)$ (Dica: $u$ pode ser escolhido como a projeção de $\vec{w}$ sobre $(0,1,3)$). 

$\vec{u}=\left(0,-\frac{9}{10},-\frac{27}{10}\right)^T$ e $\vec{w}=\left(-\sqrt{\frac{10}{59}},-\frac{21}{\sqrt{590}},\frac{7}{\sqrt{590}}\right)^T$

780   

Encontre o ponto $Q$ sabendo que o mesmo é a extremidade de um vetor com origem no ponto médio do segmento que liga os pontos $P_1=(1,1,3)$ e $P_2=(-1,1,1)$ e tem norma, direção e sentido do vetor $v=(-1,0,1)$.

993   

Sejam $\vec{u},\; \vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores. Sabendo que $\vec{u}$ é ortogonal a  $\vec{v} - \vec{w}$ e $\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{w} - \vec{u}$, verifique que $\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u} - \vec{v}$.

Como $\vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=0$, temos que $\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}$. Da mesma forma, como $\vec{v}\cdot(\vec{w}-\vec{u})=0$, decorre que $\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{u}$. Assim, usando a simetria do produto interno euclidiano, segue que$$ \vec{w}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}-\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}=0.$$

1401   

Uma força $\vec{F} = (4,-6,1)$ N é aplicada a um ponto que se move uma distância de $15$ metros na direção e sentido do vetor $(1,1,1)$. Quanto trabalho foi realizado?

781   

Encontre o ponto $Q$ do espaço tal que o vetor com origem no ponto $P=(1,0,1)$ e com extremidade em $Q$ tenha norma, direção e sentido iguais ao vetor  $(1,-2,1)$.

775   

Sejam $u$ e $v$ dois vetores de comprimentos iguais. Mostre que para quaisquer números $a$ e $b$, os vetores $au+bv$ e $av+bu$ têm o mesmo comprimento. Interprete o resultado.

821   

Para o par de vetores $u=(2,0,0)$ e $v=(3,5,4)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.

 $\textrm{proj}_{u}{v}=(3,0,0)$.

$v_1=(3,0,0)$ e $v_2=(0,5,4)$.

777   

Encontre um vetor $u$ que seja ortogonal aos vetores $(2,3,-1)$ e $(2,-4,6)$ tal que $\parallel u\parallel = 3\sqrt{3}$.

832   

Mostre que o segmento de reta que liga um vértice de um paralelogramo ao ponto médio de um dos lados opostos trissecta a diagonal (isto é, intercepta a diagonal em um ponto que a divide em dois segmentos, um tendo um terço do comprimento da diagonal e o outro tendo dois terços do comprimento da diagonal).

862   

Mostre que as diagonais de um losango cortam-se mutuamente em seu ponto médio e que são ortogonais entre si.

859   

Sabendo que o ponto $P=(-3,m,n)$ pertence à reta que passa pelos pontos $A=(1,-2,4)$ e $B=(-1,-3,1)$, determine $m$ e $n$.

987   

Sejam $u=(1,-1,3)$ e $v=(3,-5,6)$ dois vetores. Encontre $\mathrm{proj}_{u+v} (2u-v)$.

$\dfrac{1}{133}(-88,132,-198)^T$

814   

Dados os pontos $A=(-2,3,4)$,  $B=(3,2,5)$, $C=(1,-1,2)$ e $D=(3,2,-4)$, calcular $\textrm{proj}_{CD}{AB}$.

$\textrm{proj}_{CD}{AB}=\dfrac{1}{49}(2,3,-6)$.

822   

Para o par de vetores $u=(1,1,1)$ e $v=(3,1,-1)$, encontrar a projeção ortogonal de $v$ sobre $u$ e decompor $v$ como soma de $v_{1}$ com $v_{2}$, sendo $v_{1} \parallel u$ e $v_{2}\perp u$.

 $\textrm{proj}_{u}{u}=u$.

$v_1=u$; $v_2=(2,0,-2).$

816   

Mostre que se $X\;\mbox{e}\; Y$ são dois vetores tais que $X+Y$ é ortogonal a $X-Y$, então $\left\|X\right\|\;=\;\left\|Y\right\|$.

$X+Y$ ortogonal a $X-Y$ $\Rightarrow$ $(X+Y)\cdot(X-Y)=0$.
$(X+Y)\cdot(X-Y)=0$ $\Rightarrow$ $X\cdot X-X\cdot Y+Y\cdot X - Y\cdot Y=0\Rightarrow X\cdot X- Y\cdot Y=0 \Rightarrow X\cdot X= Y\cdot Y\Rightarrow ||X||^2=||Y||^2$ e, pela não negatividade da norma, $||X||=||Y||$.

830   

Seja $O$ a origem de um sistema de coordenadas no plano. Mostre que se $ABC$ é um triângulo qualquer, suas medianas se interceptam no ponto $$M=\frac{OA+OB+OC}{3}.$$

856   

Que condições devem satisfazer os vetores $a$ e $b$ para que o vetor $a+b$ divida o ângulo formado por eles em dois ângulos iguais?

Considere um paralelogamo de lados $a$ e $b.$ O vetor soma $a+b$ representa a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores $a$ e $b$. Caso os vetores  $a$ e $b$ tenham módulos iguais, isto é, mesmo tamanho, o paralelogramo formado por esses vetores será um losango (todos os lados do paralelogramo terão a mesma medida), e a diagonal dividirá o ângulo entre os vetores $a$ e $b$ ao meio. Assim, teremos a igualdade entre dois ângulos $\alpha =\beta $ quando $\left\Vert a\right\Vert=\left\Vert b\right\Vert .$ Então, para que o vetor soma divida ao meio o ângulo entre os vetores $a$ e $b$, basta que $\left\Vert a\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert .$