Estudo do sinal da função com raiz quadrada

Estudando o sinal de uma função quadrática

O que significa estudar o sinal de uma função?

Significa avaliar quando a função possui valores positivos ou negativos.

• Uma função possui valor positivo quando a coordenada y de seus pontos é positiva. Ou seja, quando seu gráfico está acima do eixo x.
• Uma função possui valor negativo quando a coordenada y de seus pontos é negativa. Ou seja, quando seu gráfico está abaixo do eixo x.

Aqui, nos preocuparemos em avaliar o sinal de uma função do segundo grau, do tipo f(x) = ax² + bx + c, cujo formato do gráfico é o de uma parábola. 

Para avaliar o valor de uma função, precisamos somente do esboço do seu gráfico, considerando suas raízes, o eixo x e o sinal do coeficiente a.

Observe os exemplos abaixo:

Exemplo 1: Estudo do sinal da função f(x) = 2x² - 6x - 8.

• Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).

2x² - 6x - 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.

• O coeficiente a da função é positivo (o a é igual a 2). Logo, a concavidade da parábola está para cima. 

Com essas informações, temos o seguinte esboço:

Estudo do sinal da função:

• f(x) > 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)
• f(x) < 0 quando x ∈ (-1; 4)

Exemplo 2: Estudo do sinal da função g(x) = -2x² + 6x + 8.

Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).

-2x² + 6x + 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.

O coeficiente a da função é negativo (o a é igual a -2). Logo, a concavidade da parábola está para baixo. 

Com essas informações, temos o seguinte esboço:

Estudo do sinal da função:

• f(x) > 0 quando x ∈ (-1; 4)
• f(x) < 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)

Problemas de máximos e mínimos

Toda parábola tem um ponto de máximo ou de mínimo. No exemplo da função f(x) = 2x² - 6x - 8, visto anteriormente, perceba que ela possui uma ponto de mínimo. Já no exemplo da função g(x) = -2x² + 6x + 8, a função tem um ponto de máximo.

O pontos de máximo e mínimo também são chamados de vértice da parábola, tendo coordenadas Xv e Yv. Observe um exemplo:

Existem fórmulas para determinarmos as coordenadas x e y do vértice. Sendo a função do tipo f(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice serão:

Onde ∆ = b² - 4ac.

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A função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a também é diferente de 0.

Toda expressão na forma y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0, é considerada uma função do 1º grau. Exemplos:

y = 2x + 9, a = 2 e b = 9 y = –x – 1, a = – 1 e b = – 1 y = 9x – 5, a = 9 e b = – 5

y = (1/3)x + 7, a = 1/3 e b = 7

Para determinarmos o zero ou a raiz de uma função basta considerarmos f(x) = 0 ou y = 0.

Exemplo 1

Exemplo 2

x = – 1/2

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax2 + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:

x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a                        

Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais.

Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.

Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.

Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x2 for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.

Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.

1°) ? < 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.

2°) ? = 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.

3°) ? > 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.

Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:

1) f(x) = x2 – 1 ? = b2 – 4 . a . c ? = 02 – 4 . 1 . (– 1) ? = 4 ?x1 = 1; x2 = – 1	A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1
Essa é uma parábola com concavidade para cima e que toca o eixo x nos pontos – 1 e 1. f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1 f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1 ?f(x) < 0 para 1 < x < 1
2) f(x) = – x2 + 2x – 1 ? = b2 – 4 . a . c ? = 22 – 4 . (– 1) . (– 1) ? = 4 – 4 = 0 ?x1 = x2 = – 1	A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1
Essa é uma parábola com concavidade para baixo e que toca o eixo x no ponto – 1. f(x) = 0 para x = – 1 f(x) < 0 para x ≠ – 1

3) f(x) = x2 – 2x + 3 ? = b2 – 4 . a . c ? = (–2)2 – 4 . 1 . 3 ? = 4 – 12 = – 8 ?Não existe raiz real.	A parábola não toca o eixo x
Essa é uma parábola com concavidade para cima e que não toca o eixo x. f(x) > 0 para todo x real