Exercicios de equação do 1 grau com 1 incognita

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O que é uma equação do 1º grau?
Exercícios resolvidos
Para exemplificar:
Como resolver uma equação do primeiro grau
Primeiro exemplo:
Segundo exemplo:
Terceiro exemplo:
Quarto exemplo:
Quinto exemplo:
Propriedade fundamental das equações
Exercícios resolvidos

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

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Como referenciar: "Exercícios de Equações do 1º Grau" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 24/05/2022 às 02:06. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes.php

A equação do primeiro grau com uma incógnita é uma ferramenta que resolve grandes problemas na matemática e até mesmo no nosso cotidiano. Essas equações são provenientes de polinômios de grau 1, e sua solução é um valor que zera tal polinômio, ou seja, encontrado o valor da incógnita e substituindo-o na expressão, vamos encontrar uma identidade matemática que consiste em uma igualdade verdadeira, por exemplo, 4 = 22.

O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte forma:

ax + b = 0

No caso acima, x é a incógnita, ou seja, o valor que devemos encontrar, e a e b são chamados de coeficientes da equação. O valor do coeficiente a deve ser sempre diferente de 0.

Leia também: Problemas matemáticos com equações

Veja aqui alguns exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:

a) 3x +3 = 0

b) 3x = x(7+3x)

c) 3 (x –1) = 8x +4

d) 0,5x + 9 = √81

Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1).

Representação geral de uma equação do primeiro grau.

Em uma equação, temos uma igualdade, a qual separa a equação em dois membros. Do lado esquerdo da igualdade, vamos ter o primeiro membro, e do lado direito, o segundo membro.

ax + b = 0

(1º membro) = (2º membro)

Para manter a igualdade sempre verdadeira, devemos operar tanto no primeiro membro como no segundo, ou seja, se realizarmos uma operação no primeiro membro, devemos realizar a mesma operação no segundo membro. Essa ideia recebe o nome de princípio da equivalência.

15 = 15

15 + 3 = 15 + 3

18 = 18

18 – 30 = 18 – 30

– 12 = – 12

Veja que a igualdade permanece verdadeira desde que operemos de maneira simultânea nos dois membros da equação.

O princípio da equivalência é utilizado para determinar o valor da incógnita da equação, ou seja, determinar a raiz ou solução da equação. Para encontrar o valor de x, devemos utilizar o princípio da equivalência para isolar o valor da incógnita.

Veja um exemplo:

2x – 8 = 3x – 10

O primeiro passo é fazer com que o número – 8 desapareça do primeiro membro. Para isso, vamos somar o número 8 em ambos os lados da equação.

2x – 8 + 8 = 3x – 10 + 8

2x = 3x – 2

O próximo passo é fazer com que 3x desapareça do segundo membro. Para isso, vamos subtrair 3x em ambos os lados.

2x – 3x = 3x – 2 – 3x

– x = – 2

Como estamos à procura de x, e não de – x, vamos agora multiplicar ambos os lados por (– 1).

(– 1)· (– x) = (– 2) · (– 1)

x = 2

O conjunto solução da equação é, portanto, S = {2}.

Leia também: Diferenças entre função e equação

Existe um macete decorrente do princípio da equivalência que facilita encontrar a solução de uma equação. De acordo com essa técnica, devemos deixar tudo que depende da incógnita no primeiro membro e tudo que não depende da incógnita no segundo membro. Para isso, basta “passar” o número para o outro lado da igualdade, trocando seu sinal pelo sinal oposto. Se um número é positivo, por exemplo, quando passado para o outro membro, ele se tornará negativo. Caso o número esteja multiplicando, basta “passá-lo” dividindo e assim sucessivamente.

Veja:

2x – 8 = 3x – 10

Nessa equação, temos que “passar” o –8 para o segundo membro e o 3x para o primeiro, trocando seus sinais. Assim:

2x – 3x = –10 + 8

(–1)· – x = –2 ·(– 1)

x = 2

S = {2}.

Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1).

Resolução:

O primeiro passo é realizar a distributividade, logo:

24x – 16 = 20x – 5

Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, vamos ter:

24x – 20x = –5 + 16

4x = 11

Leia também: Equação fracionária – como resolver?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número.

Solução:

Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n.

2n + 5 = 155

2n = 155 – 5

2n = 150

Resposta: 75.

Questão 2 – Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a idade de Roberta e Bárbara.

Solução:

Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que:

r = b + 4

Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo:

r + b = 44

Substituindo o valor de r na equação acima, temos:

r + b = 44

b + 4 + b = 44

b + b = 44 – 4

2b = 40

Resposta: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. Quem determina o “grau” dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau.

Para exemplificar:

4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)

x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)

x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)

A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:

ax + b = 0

É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado para o resultado final da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.

Veja também: Método prático para resolver equações

Como resolver uma equação do primeiro grau

Para resolvermos umaa equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em um dos membros da equação.

O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e “jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.

Primeiro exemplo:

x + 4 = 12

Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):

x = 12 – 4

x = 8

Segundo exemplo:

x – 12 = 20

O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:

x = 20 + 12

x = 32

Terceiro exemplo:

4x + 2 = 10

Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado dividindo.

4x = 10 – 2

x = 10 – 2
4

x = 8
4

x = 2

Quarto exemplo:

-3x = -9

Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.

-3x = -9 .(-1)

3x = 9

Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:

x = 9

x = 3

Quinto exemplo:

2x + 4 = 7
3 5 8

Nesse caso, devemos fazer o MMC dos denominadores para que eles sejam igualados e, posteriormente, cancelados (sempre na intenção de isolar a incógnita x):

O próximo passo é igualar os denominadores com o resultado do MMC. Os numeradores são encontrados pela divisão do MMC pelo denominador e a multiplicação pelo numerador:

(120 ÷ 3.2x) + (120 ÷ 5.4) = (120 ÷ 8.7)
120 120 120

80x + 96 = 105
120 120 120

Depois de igualados os denominadores, ele podem ser cancelados, restando a equação:

80x + 96 = 105

O 96 está somando e vai para o outro lado da igualdade subtraindo:

80x = 105 – 96

80x = 9

Para finalizar, o 80 que está multiplicando x vai para o outro lado da igualdade dividindo:

x = 9
80

x = 0,1125

Obs.: Sempre que a incógnita x estiver entre parênteses e houver algum número de fora que esteja multiplicando esses parênteses, devemos distribuir a multiplicação do número para todos os componentes que estiverem dentro dos parênteses (esse processo é chamado de propriedade distributiva). Por exemplo:

5(3x – 9 + 5) = 0

Nesse caso, o 5 deve multiplicar todos os componentes de dentro dos parênteses para depois isolar a incógnita x:

15x – 45 + 25 = 0

15x – 20 = 0

15x = 20

x = 20
15

x = 4 ou x = 1,33333...
3

Saiba também: Equações que possuem expoente 2 na incógnita

Propriedade fundamental das equações

A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o resultado final. Veja a demonstração nesse exemplo:

3x + 12 = 27

Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos dois membros da equação:

3x + 12 – 12 = 27 – 12

3x = 15

Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da equação:

3x = 15
3 3

x = 5