Estes exercícios sobre soma dos ângulos internos de um polígono regular exigem conhecimentos a respeito da classificação de polígonos e sobre seus ângulos.
Questão 1 Calcule a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e de um retângulo qualquer. ver resposta
Questão 2 Calcule o valor de cada ângulo do quadrilátero seguinte: ver resposta
Questão 3 (UNIFESP - 2003) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir Nessas condições, o ângulo θ mede: a) 108°. b) 72°. c) 54°. d) 36°. e) 18°. ver resposta
Questão 4 (FAAP-97) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51° ver resposta
Resposta Questão 1 Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo, Soma dos ângulos internos do triângulo: S = (3 – 2)·180 S = 1·180 S = 180° Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última. Soma dos ângulos internos de um retângulo: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°. voltar a questão
Resposta Questão 2 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por: S = (n – 2)·180 Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4: S = (4 – 2)·180 S = 2·180 S = 360° Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°: 2x + 4x + 2x + 4x = 360 12x = 360 x = 360 x = 30 Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores. 4x = 4·30 = 120° e 2x = 2·30 = 60° Os ângulos são 120° e 60°. voltar a questão
Resposta Questão 3 Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5. A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é: S = (n – 2)·180 *n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício: S = (5 – 2)·180 S = 3·180 S = 540 Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno. Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°. 108 + 108 + 108 + θ = 360 324 + θ = 360 θ = 360 – 324 θ = 36° Letra D. voltar a questão
Resposta Questão 4 Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida. A soma dos ângulos internos do heptágono é: S = (n – 2)·180 S = (7 – 2)·180 S = 5·180 S = 900° Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7. 900 = 128,57 Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem: 128,57 + x = 180 x = 180 – 128,57 x = 51,43° Letra E. voltar a questão Assista às nossas videoaulas
A soma dos ângulos internos de um triângulo é fixa Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica. Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade: a + b + c = 180 Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois. Exemplos 1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir? Solução: Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever: α + 50 + 50 = 180 α = 180 – 50 – 50 α = 80° 2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir. Solução: Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever: 2x + 3x + 4x = 180 9x = 180 x = 180 x = 20 Demonstração O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ângulo raso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo. Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir: Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo: Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir. Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto: α + β + γ = 180° |