O teorema de Tales indica que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, formam segmentos proporcionais. Aproveite a lista de exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante teorema da geometria. Questão 1Sabendo que as retas r, s e t são paralelas, determine o valor de x na imagem a seguir.
Resposta correta: 3,2. Pelo teorema de Tales, temos que: Utilizando a propriedade fundamental das proporções e multiplicando meios pelos extremos, encontramos o valor de x.
Portanto, o valor de x é 3,2. Questão 2João decidiu dividir um terreno, conforme a imagem abaixo. Com base nos dados apresentados, os valores de a, b e c são, respectivamente: a) 10 m, 15 m e 20 m b) 20 m, 35 m e 45 m c) 30 m, 45 m e 50 m d) 15 m, 25 m e 35 m
Resposta correta: b) 20 m, 35 m e 45 m. Como sabemos o comprimento de a + b + c, podemos fazer as seguintes relações para encontrar o valor de a:
Utilizando a propriedade fundamental das proporções e multiplicando meios pelos extremos, encontramos o valor de a.
Para encontrar o valor de b realizamos o mesmo raciocínio. E, por fim, calculamos o valor de c.
Portanto, os valores de a, b e c são, respectivamente, 20 m, 35 m e 45 m. Questão 3Existem 5 bolas dispostas em uma mesa de bilhar. A reta formada entre as bolas 1 e 2 é paralela à reta formada entre as bolas 4 e 5. De acordo com as medidas dispostas na imagem responda: qual a distância entre as bolas 1 e 3? a) 20 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 50 cm
Resposta correta: c) 40 cm. Substituindo os valores apresentados na imagem no teorema de Tales, temos: Portanto, a bola 1 está a 40 cm de distância da bola 3. Questão 4Um triângulo ADE foi projetado em cima do triângulo ABC, conforme a imagem a seguir. Com base nos dados apresentados encontre o valor de x.
Resposta correta: x = 15. Substituindo no teorema de Tales os valores dados na imagem, temos: Portanto, o valor de x é 15. Veja também: Teorema de Tales Questões de Concurso ResolvidasQuestão 5(Cefet/MG - 2017) A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros. Sabendo-se que os segmentos de reta são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a a) 375.000 Km. b) 400.000 Km. c) 37.500.000 Km. d) 40.000.000 Km.
Alternativa correta: a) 375.000 Km. A situação pode ser representada conforme a figura abaixo: Como os segmentos de reta são paralelos, pelo teorema de Tales temos a seguinte proporção: Alternativa: a) 375.000 Km. Questão 6(Epcar - 2018) Observe a figura a seguir: Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t. Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:
A soma , em cm, é dada por um número divisível por a) 3 b) 4 c) 7 d) 11
Alternativa correta: a) 3 Observando a imagem, identificamos que:
Para encontrar esses valores, vamos separar na figura os segmentos proporcionais e aplicar o teorema de Tales. Iniciaremos calculando o valor de y. Para tal, assinalamos os valores conhecidos, conforme indicado abaixo: Observando a figura, notamos que:
Aplicando o teorema de Tales:
Para encontrar o valor de m, vamos utilizar a seguinte proporção:
Agora que conhecemos o valor do m, podemos encontrar o valor de z usando a seguinte proporção:
Somando os valores encontrados, temos:
27 é um número divisível por 3, pois 3.9 = 27. Alternativa: a) 3 (Cefet/MG - 2014) Considere a figura em que O valor de x é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
Alternativa correta: b) 4 Para encontrar o valor do x, iremos aplicar o teorema de Tales. O cálculo será feito utilizando a seguinte proporção: Alternativa: b) 4 Questão 8(Colégio Pedro II - 2012) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. Considere que
Nessas condições, a medida do segmento é, em metros, a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) 645.
Alternativa correta: b) 660 Os segmentos indicados são dois a dois paralelos entre si, então, pelo teorema de Tales, sabemos que formam um proporção. Como o valor informado foi do segmento , que é a soma dos segmentos , utilizaremos também a soma dos segmentos (500 + 600 + 700 = 1800 m). Assim, temos a seguinte proporção:
Alternativa: b) 660 Questão 9(Enem - 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.
Alternativa correta: d) 5,6 metros Podemos representar a situação proposta no problema conforme a figura abaixo: Note que as duas alturas indicadas formam um ângulo de 90º com o solo, desta forma, essas duas retas são paralelas. Considerando o solo e a rampa duas retas transversais a essas retas paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales. Para isso, usaremos a seguinte proporção: Como queremos descobrir quanto ainda falta para a pessoa caminhar, devemos fazer: x = 8,8 - 3,2 Alternativa: d) 5,6 metros Questão 10(PUC/Campinas - 2007) Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas entre si Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x - 10, GI = y e HI = 10, então x + y é um número a) maior que 47 b) entre 41 e 46 c) menor que 43 d) quadrado perfeito e) cubo perfeito
Alternativa correta: b) entre 41 e 46 Primeiro, vamos encontrar o valor do x usando os seguintes segmentos: Pela figura, identificamos que o segmento AB é igual a x - 8, desta forma, aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte proporção:
Como o valor do x representa a medida de um segmento, vamos desconsiderar o valor negativo. Podemos agora calcular o valor do y. Substituindo o valor encontrado para x, temos a seguinte figura:
Assim, a soma de x e y será igual a: x + y = 20 + 25 = 45 Portanto, a resposta é um número entre 43 e 46. Alternativa: b) entre 41 e 46 Questão 11(Cefet/PR - 2006) O jardineiro Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base. Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm. d) 56 cm e 28 cm. e) 40 cm e 20 cm.
Alternativa correta: b) 28 cm e 56 cm. Sendo todas as divisões paralelas, os segmentos formados são proporcionais, então, usaremos as seguintes proporções:
Alternativa: b) 28 cm e 56 cm. Aproveite os conteúdos a seguir para aprender ainda mais: |