O cálculo de raízes está profundamente ligado à multiplicação, mais especificamente à multiplicação em que os termos multiplicados são todos iguais. Quando isso acontece, costuma-se dizer que um número foi multiplicado por ele mesmo. Show Os números multiplicados por eles mesmos são chamados de potências. É uma potência, portanto, qualquer número que for multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. Esse número de vezes pode ser de 0 a infinito, dependendo do problema em questão e do tipo de estudo a ser realizado. Observe alguns exemplos de potências: 1·1·1 = 1 2·2·2 = 8 3·3 = 9 Como havia alguns casos em que essas potências eram multiplicações muito extensas, criou-se uma forma diferente de representar as potências. Por exemplo: 13 = 1·1·1 = 1 23 = 2·2·2 = 8 32 = 9 Portanto, para se representar a multiplicação do número 2 por ele mesmo seis vezes, podemos escrever, no lugar de 2·2·2·2·2·2, apenas 26. Essa operação é conhecida como potenciação. No exemplo seguinte, an = b a recebe o nome de base, n é o expoente e b é a potência (às vezes também chamamos an de potência). Dessa forma, potenciação é um tipo de multiplicação em que, dada uma base e um expoente, procura-se por uma potência, multiplicando-se essa base por ela mesma. Muitas vezes, contudo, deparamo-nos com a situação inversa, em que é necessário encontrar a base que gerou uma potência. Esse processo é conhecido como radiciação (calcular a raiz). Utilizando o exemplo anterior, é apresentado o número b, então, devemos procurar pelo número a que foi multiplicado por ele mesmo n vezes. Esse cálculo é representado pelo seguinte símbolo: Na imagem acima, procuramos a raiz enésima de b. Isso significa que buscamos um número a que, multiplicado por ele mesmo n vezes, tenha como resultado b. Na imagem acima, a é chamado de raiz enésima, b é chamado de radicando e n é chamado de índice. Exemplo 1: Calcule a seguinte raiz: Procuramos por um número que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, tenha 27 como resultado. Observe que não procuramos um número que, multiplicado por 3, é igual a 27, mas, sim, um número que multiplicado por si 3 vezes é 27. Portanto, procuramos pelo número A, que cumpre: A·A·A = 27 Tentando realizar a multiplicação acima com o número 3 no lugar de A, obtemos: 3·3·3 = 27 Então, Observe que 27 é resultado da multiplicação 3·3·3, que pode ser escrito como 33. Substituímos 27 por 33 e escrevemos a seguinte expressão: Essa observação leva ao entendimento de que é possível tentar escrever o radicando utilizando a sua decomposição em fatores primos. Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 576. Observe, primeiramente, a decomposição de 576 em fatores primos: 576 |2 288 |2 144 |2 72 |2 36 |2 18 |2 9 |3 3 |3 1 |22·22·22·32 Observe que o resultado foi agrupado dois a dois. Isso acontece porque estamos calculando a raiz quadrada. Se fosse raiz cúbica, agruparíamos três a três; raiz quarta, quatro a quatro etc. Agora basta calcular a raiz: Por Luiz Paulo Moreira A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6. |