Como faco para achar raiz quadrada

Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
 8 | 2
 4 | 2
 2 | 2
1| 

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
 81 | 3
 27 | 3
   9 | 3
   3 | 3
 1 | 

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
  625 | 5
  125 | 5
    25 | 5
      5 | 5
   ?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. 

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

Vamos descobrir de um jeito fácil a raiz quadrada de um número

O estudo da raiz quadrada é importante para várias áreas de conhecimento da matemática, então porque não termos um tópico só dela?

Neste post vamos explicar tudinho que você precisa saber para encontrar a raiz quadrada de um número!

1. Números primos e fatoração

Para aprendermos a encontrar a raiz quadrada de um número, precisamos relembrar os números primos e a fatoração de um número.

Os números primos são aqueles maiores do que 1 e que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. Essa lista é infinita, então vamos decorar só os primeiros, ok? São eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...

A fatoração de um número é dada pela divisão dele por números primos, ou seja, vou reescrever um número com apenas multiplicações de números primos.

Exemplo: Fatore o número 192.

192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3

1 |

Logo, podemos escrever o 192 = 2.2.2.2.2.2.3 ou 192 = 2 6.3

2. Raiz quadrada de um número natural

Para encontrar a raiz quadrada de um número natural, basta fatorar o número e depois juntar de dois em dois para tirar da raiz, veja o exemplo,

Exemplo: Encontre a √36

36 | 218 | 2 9 | 2 3 | 2

1 |

Então, podemos escrever 36 = 2.2.3.3 ou 36 = 22.32, como temos dois 2 e dois 3, logo eles “saem” da raiz, ficando √36 = 2.3 = 6

A raiz é a operação inversa da potenciação, logo para alguns casos simples basta fazer a seguinte pergunta “que número ao quadrado que resulta no valor desta raiz?”.

Veja os casos mais simples: √100 = 10, pois, 102 = 100 √81= 9, pois, 92 = 81 √64= 8, pois, 82 = 64 √49= 7, pois, 72 = 49 √36= 6, pois, 62 = 36 √25= 5, pois, 52 = 25 √16= 4, pois, 42 = 16 √9= 3, pois, 32 = 9 √4= 2, pois, 22 = 4 √1= 1, pois, 12 = 1

Quando conseguimos encontrar um número que responde a essa pergunta dizemos que a raiz é exata, pois não “sobra” nada dentro da raiz.

Exemplo: Encontre a raiz exata de √225

225| 3 75 | 3 25 | 5 5 | 5

1 |

Então, √225 = √32.52 = 3.5 = 15

3. Raiz não exata de um número

O mesmo procedimento é feito para as raízes não exatas, só que agora vai “sobrar” números dentro da raiz, veja:

Exemplos:

192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3

1 |

Logo, podemos escrever √192= √2.2.2.2.2.2.3 = √22.22.22.32 = 2.2.2.√3 = 6√3

Observe que nesse exemplo só os números 2 fizeram pares entre si, o número 3 ficou sozinho, “sobrando” dentro da raiz.

245 | 5 49 | 7 7 | 7

1 |

Logo, √245 = √5.72 = 7√5

221 | 13 17 | 17

1 |

Neste último caso, como não temos nenhum número ao quadrado, pois temos um de cada, nada sai da raiz, então não temos uma simplificação para √221.

4. Raiz quadrada de um número fracionário

A raiz quadrada de um número fracionário é feita da mesma forma que para o número natural, só que a resposta será uma fração também, veja:

Exemplo:

Vamos “distribuir” a raiz para o numerador e o denominador.

√16/25 = √16/√25

Agora basta encontrar suas raízes.

 √16/√25 = 4/5

√225/400 = √225/√400 = 15/20

Sempre precisamos simplificar a fração, então a resposta final será:

√225/400 = 3/4

5. Raiz quadrada de um número decimal

Um modo de como podemos resolver a raiz de um número decimal é passar pra fração e repetir o processo anterior, veja:

Exemplo:

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