Como multiplicar raiz quadrada de 225

A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.

O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?

Tentativa e erro

Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:

Qual a raiz quadrada de v196?

Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:

11 * 11 = 121

12 * 12 = 144

13 * 13 = 169

14 * 14 = 196

É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.

Cálculo por fatoração

A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:

Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:

Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:

Veja outro exemplo com  v1225:

Desmembrando o número temos:

Raiz quadrada não exata

Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:

7,1 * 7,1 = 50,41

7,2 * 7,2 = 51,84

7,3 * 7,3 = 53,29

7,4 * 7,4 = 54,76

O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.

Veja outro exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:

14,1 * 14,1 = 198,81

14,2 * 14,2 = 201,64

14,3 * 14,3 = 204,49

14,4 * 14,4 = 207,36

14,5 * 14,5 = 210,25

14,6 * 14,6 = 213,16

14,7 * 14,7 = 216,09

14,8 * 14,8 = 219,04

Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:

14,71 * 14,71 = 216,38

14,72 * 14, 72 = 216,67

14,73 * 14,73 = 216,97

14,74 * 14,74 = 217,26

14,75 * 14,75 = 217,56

14,76 * 14,76 = 217,85

14,77 * 14,77 = 218,15

Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.

O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.

Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:

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Em situações cotidianas, o desafio de calcular a raiz quadrada de um número é enfrentado. E se você não tiver acesso a uma calculadora ou qualquer outro gadget? Isso pode ser feito com papel e lápis antigos em um estilo de divisão longa. Sim, existem várias maneiras de fazer isso. Vamos começar discutindo a raiz quadrada e suas propriedades.

O que é uma raiz quadrada?

Uma raiz quadrada é um valor que dá ao número original aquela multiplicação de si mesmo. por exemplo, 6 multiplicado por ele mesmo dá 36 (ou seja, 6 × 6 = 36), portanto, 6 é a raiz quadrada de 36 ou, em outras palavras, 36 é o número quadrado de 6.

Suponha que a seja a raiz quadrada de b, então ele é representado como,

a = √b ou  

a 2 = b

Deixe o quadrado de 2 ser 4, então a raiz quadrada de 4 será 2, ou seja 

√4 = 2

A seguir estão as raízes quadradas dos primeiros 50 dígitos como:

Portanto, a raiz quadrada do quadrado de um número positivo fornece o número original. No entanto, a raiz quadrada de um número negativo representa um número complexo.

Propriedades da raiz quadrada 

• Sempre existe uma raiz quadrada perfeita se um número for um quadrado perfeito.
• A raiz quadrada de 4 é 2 e a raiz quadrada de 16 é 4. Portanto, podemos concluir que a raiz quadrada de um quadrado perfeito par é par.
• A raiz quadrada de 9 é 3 e a raiz quadrada de 81 é 9. Portanto, podemos concluir que a raiz quadrada de um quadrado perfeito ímpar é ímpar.
• Um quadrado perfeito não pode ser negativo e, portanto, a raiz quadrada de um número negativo não é definida.
• Do ponto acima, pode-se concluir que os números que terminam em (com dígito da unidade) 1, 4, 5, 6 ou 9 terão raiz quadrada.
• Se um número de termina com um número par de zeros (0's), então ele pode ter uma raiz quadrada.
• Se o dígito da unidade de um número for 2, 3, 7 ou 8, uma raiz quadrada perfeita não será possível.
• Se um número de terminar com 2, 3, 7 ou 8 (no dígito da unidade), a raiz quadrada perfeita não existe.
• Os dois valores de raiz quadrada podem ser multiplicados. Por exemplo, √5 pode ser multiplicado por √2, então o resultado deve ser √10.
• Duas mesmas raízes quadradas são multiplicadas para dar um número de raiz não quadrada. Quando √5 é multiplicado por √5, obtemos 5 como resultado.

Quadrado perfeito 

Um número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros idênticos é chamado de quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são números que podem ser feitos elevando-se ao quadrado qualquer número inteiro.

por exemplo: 

9 é um quadrado perfeito porque é o produto de dois inteiros iguais, 3 × 3 = 9. 

No entanto, 10 não é um quadrado perfeito porque não pode ser expresso como o produto de dois inteiros iguais. (5 × 2 = 10). 

Assim, um quadrado perfeito é um número inteiro que é o quadrado de um número inteiro; em outras palavras, é o produto de algum inteiro consigo mesmo.

Os números que são quadrados perfeitos são mencionados abaixo, e encontrar as raízes quadradas desses números é fácil. Aqui estão alguns exemplos de raízes quadradas:

• 1 2 = 1
• 2 2 = 4
• 3 2 = 9
• 4 2 = 16
• 5 2 = 25
• 6 2 = 36
• 7 2 = 49
• 8 2 = 64
• 9 2 = 81
• 10 2 = 100

Como resultado, os quadrados completos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. 

Métodos para encontrar a raiz quadrada de um número

Para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito, devemos primeiro determinar se é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Se o número for um quadrado perfeito, como 4, 9, 16, etc., usaremos o processo de fatoração de primos para fatorá-lo. Devemos usar a abordagem de divisão longa para encontrar a raiz se o número for um quadrado incompleto, como 2, 3, 5 e assim por diante.

1. Método de subtração repetida
2. Método de Fatoração Principal
3. Método de Divisão

1. Método de  subtração repetida

Sabe-se que a soma dos primeiros n números naturais ímpares é n 2 . Faremos isso para calcular a raiz quadrada de um inteiro subtraindo-o várias vezes. Vamos considerar um exemplo e ver como essa abordagem funciona. Digamos que você deva encontrar a raiz quadrada de 25, que é √25. As etapas são as seguintes:

Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de subtração repetida para determinar as raízes quadradas.

Exemplo 1: Determine a raiz quadrada de 25 usando o método de subtração repetida.
Solução:

Uma vez que 25 é um número ímpar. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 25 são:

• 25 - 1 = 24
• 24 - 3 = 21
• 21 - 5 = 16
• 16- 7 = 9
• 9 - 9 = 0

Aqui, são necessários cinco passos para obter o 0. 

Portanto, a raiz quadrada de 25 é 5 .

Exemplo 2: Determine a raiz quadrada de 16 usando o método de subtração repetida.
Solução:

Uma vez que 16 é um número par. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 16 são:

• 16 - 4 = 12
• 12 - 4 = 8
• 8 - 4 = 4

Aqui, são necessários quatro passos para obter o 0. 

Portanto, a raiz quadrada de 16 é 4 .

Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 49 usando o método de subtração repetida.

Solução:

Já que 49 é um número ímpar. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 49 são:

• 49 - 1 = 48
• 48 - 3 = 45
• 45 - 5 = 40
• 40 - 7 = 33
• 33 - 9 = 24
• 24 - 11 = 13
• 13 -13 = 0

Aqui, são necessários sete passos para obter o 0. 

Portanto, a raiz quadrada de 49 é 7 .

2. Método de Fatoração Principal 

O método de fatoração de primos envolve a expressão de números em função de seus fatores primos. A raiz quadrada do número é dada pelo produto de um elemento de cada par de fatores primos iguais. Essa abordagem também pode ser usada para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou não. Este método, entretanto, não pode ser usado para encontrar a raiz quadrada de números decimais quadrados não perfeitos.

por exemplo: Os fatores primos de 126 serão 2, 3 e 7 como 2 × 3 × 3 × 7 = 126 e 2, 3, 7 são números primos.

• 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 2 × 2 2 = √16 = 4
• 25 = 5 × 5 = 5 2 = √25 = 5
• 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = √64 = 8

3. Método de Divisão 

Quando os inteiros são suficientemente grandes, é fácil obter a raiz quadrada de um quadrado perfeito utilizando a abordagem de divisão longa, porque obter suas raízes quadradas por meio da fatoração se torna demorado e complicado. Para superar esse problema, um novo método para encontrar a raiz quadrada é desenvolvido. Este método usa basicamente a operação de divisão por um divisor cujo quadrado é menor ou igual ao dividendo.

A seguir estão as etapas para o método de divisão:

Etapa 1: pegue o número cuja raiz quadrada deve ser encontrada. Coloque uma barra sobre cada par do dígito do número, começando daquele no lugar da unidade (lado direito).

Etapa 2: vamos dividir o número mais à esquerda pelo maior número cujo quadrado é menor ou igual ao número sob a barra mais à esquerda. Considere este número como o divisor e o quociente. O número sob a barra mais à esquerda é considerado o dividendo.

Etapa 3: divida e obtenha o número. Abaixe o número sob a próxima barra à direita do restante.

Etapa 4: Dobre o divisor (ou some o divisor a ele mesmo). À direita desse divisor, encontre um número adequado que, junto com o divisor, forma um novo divisor para o novo dividendo. O novo número no quociente terá o mesmo número selecionado no divisor. A condição é a mesma que ser menor ou igual ao dividendo.

Etapa 5: continue este processo até chegarmos a zero como o restante. O quociente assim obtido será a raiz quadrada do número.

Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de divisão para determinar as raízes quadradas.

Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 144 usando o método de divisão.

Solução:

As etapas para determinar a raiz quadrada de 144 são:

Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1. 

Etapa 2: colocando-o no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando-o resultará em,

Etapa 3: agora é necessário encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x. 

Etapa 4: Portanto, verifique quando 2x multiplicar por x fornece um número menor ou igual a 44. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.

Nesse caso,

Portanto, escolhemos x = 2 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente. 

O restante aqui é 0 e, portanto, 12 é a raiz quadrada de 144.

Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 196 usando o método de divisão.

Solução:

As etapas para determinar a raiz quadrada de 196 são:

Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1. 

Passo 2:  Colocando no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando o resultado.

Etapa 3:  agora precisamos encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x. 

Etapa 4:  precisamos verificar quando 2x multiplicado por x dá um número menor ou igual a 96. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.

Nesse caso, 

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96

Portanto, escolha x = 4 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente. 

O restante aqui é 0 e, portanto, 14 é a raiz quadrada de 196.

Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 225 usando o método de divisão.

Solução:

As etapas para determinar a raiz quadrada de 225 são:

Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1. 

Passo 2:  Colocando no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando o resultado.

Etapa 3:  agora precisamos encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x. 

Passo 4:  Precisamos verificar quando 2x multiplica por x dá um número que é menor ou igual a 125. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.

Nesse caso,

• 21 × 1 = 21
• 22 × 2 = 44
• 23 × 3 = 69
• 24 × 4 = 96
• 25 × 5 = 125

Portanto, escolhemos x = 5 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente. 

O restante aqui é 0 e, portanto, 15 é a raiz quadrada de 225.

4. Raízes quadradas de números complexos 

Para calcular a raiz quadrada de um número complexo, vamos supor que a raiz seja ea + ib. Em seguida, compare-o com o número original para obter os valores de aeb, resultando na raiz quadrada.

Seja a + ib um número complexo, portanto, para encontrar a raiz quadrada de a + ib, a seguinte fórmula pode ser usada

Vamos considerar os exemplos a seguir para entender a determinação das raízes quadradas de números complexos.

Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 6 - 8i.

Solução:

Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:

Para o caso dado, substitua a = 6 e b = (-8) na fórmula acima,

qual é a solução necessária.

Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 9 + 40i.

Solução:

Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:

Para o caso dado, substitua a = 9 e b = 40 na fórmula acima,

qual é a solução necessária.

Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 3 + 4i.

Solução:

Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:

Para o caso dado, substitua a = 3 e b = 4 na fórmula acima,

qual é a solução necessária.