Dada a matriz qual e a sua ordem

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta.

Portanto, dada uma matriz A = (aij)m x n a transposta de A é At = (a’ji) n x m.

Sendo,

i: posição na linha j: posição na coluna

aij: um elemento da matriz na posição ij

At: matriz transposta de A

Note que a matriz A é de ordem m x n, enquanto sua transposta At é de ordem n x m.

Exemplo

Encontre a matriz transposta da matriz B.

Como a matriz dada é do tipo 3x2 (3 linhas e 2 colunas) a sua transposta será do tipo 2x3 (2 linhas e 3 colunas).
Para construir a matriz transposta, devemos escrever todas as colunas de B como linhas de Bt. Conforme indicado no esquema abaixo:

Assim, a matriz transposta de B será:

Veja também: Matrizes

Propriedades da Matriz Transposta

• (At)t = A: essa propriedade indica que a transposta de uma matriz transposta é a matriz original.
• (A + B)t = At + Bt: a transposta da soma duas matrizes é igual a soma da transposta de cada uma delas.
• (A . B)t = Bt . At: a transposta da multiplicação de duas matrizes é igual ao produto das transpostas de cada uma delas, em ordem inversa.
• det(M) = det(Mt): o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Matriz Simétrica

Uma matriz é chamada simétrica quando, para qualquer elemento da matriz A, a igualdade aij = aji é verdadeira.

As matrizes desse tipo são matrizes quadradas, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

Toda matriz simétrica, satisfaz a seguinte relação:

A = At

Matriz Oposta

Importante não confundir a matriz oposta com a transposta. A matriz oposta é aquela que contém os mesmos elementos nas linhas e nas colunas, no entanto, com sinais diferentes. Assim, a oposta de B é –B.

Matriz Inversa

A matriz inversa (indicada pelo número –1) é aquela em que produto de duas matrizes é igual a uma matriz identidade (I) quadrada de mesma ordem.

Exemplo:

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Fei-SP) Dada a Matriz A =

a) 1 b) 7 c) 14

d) 49

2. (FGV-SP) A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A. Se

a) x + y = –3 b) x . y = 2 c) x/y = –4

d) x . y2 = –1

3. (UFSM-RS) Sabendo-se que a matriz

é igual a transposta, o valor de 2x + y é:

a) –23 b) –11 c) –1 d) 11

e) 23

Leia Também:

Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n.

Nessa matriz, temos que:

aij → linha (i) e coluna (j)

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a1,2 → linha 1 e coluna 2
a1,3 → linha 1 e coluna 3
a1,n → linha 1 e coluna n
 

a2,1 → linha 2 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a2,3 → linha 2 e coluna 3
a2,n → linha 2 e coluna n

am,1 → linha m e coluna 1
am,2 → linha m e coluna 2
am,3 → linha m e coluna 3
am,n → linha m e coluna n

Diagonais da Matriz

Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:

Diagonal Principal

a1,1 → linha 1 e coluna 1
a2,2 → linha 2 e coluna 2
a3,3 → linha 3 e coluna 3

Diagonal Secundária

a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4
a2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4
a3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4

Matrizes Especiais

Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:

• Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:

Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.

• Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais a zero.

• Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.

• Matriz linha: é formada por uma única linha.

• Matriz coluna: é formada por uma única coluna.

Operações com matrizes

As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.

• Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.

  A + B = C

Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo:

A + B = C
A 2 x 3 + B2 x 3 = C2 x 3
 

Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.

• Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:

  A – B =C
  A + (- B) = C

A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:

• Multiplicação: Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:

Descrição dos elementos da matriz:

a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

Determinante

Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe:

Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.

• Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo:

  A = (10)
  det A = 10

• Se A possuir duas linhas e colunas (A2 x 2), então o determinante (det A2 x 2) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A 2 X 2).

Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:

1. Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a segunda coluna;

2. Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente;

3. Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal;

4. Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz.

det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3).