Clique para testar seus conhecimentos por meio de exercícios sobre fatoração de expressões algébricas! Questão 1
Qual é a forma fatorada do produto entre os polinômios x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49? a) (x + 7)2·(x – 7)2 b) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49) c) (x + 7)·(x – 7)2 d) (x + 7)2·x – 72 e) x + 72·(x – 7)2
Questão 2
Qual é a forma simplificada da expressão algébrica abaixo? (x2 + 14x + 49)·( x2 – 49) a) (x + 7)·(x + 7) b) x + 7 c) (x + 7)3 d) (x + 7)2 e) (x2 + 14x + 49)
Questão 3
A razão entre as formas fatoradas dos polinômios ax + 2a + 5x + 10 e a2 + 10a + 25 é: a) (a + 5)(x – 2) b) a + 5 c) a – 5 d) x – 2 e) x + 2
Questão 4
A forma simplificada da razão entre os polinômios x3 – 8y3 e x2 – 4xy + 4y2 é: a) (x + 4y)2 b) (x2 + 2xy + 4y2) c) (x + y)2 d) (2x + 2)2 a) (x + y)2
Resposta - Questão 1
Como estamos buscando a forma fatorada do produto, não é necessário multiplicar os polinômios, basta fatorá-los e escrever o produto entre as formas fatoradas. Observe: A forma fatorada de x2 + 14x + 49, seguindo o método do trinômio quadrado perfeito, é: x2 + 14x + 49 = (x + 7)2 Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é: x2 – 14x + 49 = (x – 7)2 Portanto, o produto entre as formas fatoradas é: (x + 7)2·(x – 7)2 Gabarito: Letra A.
Resposta - Questão 2
Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio quadrado perfeito e diferença de dois quadrados. Observe: (x2 + 14x + 49)·( x2 – 49) (x + 7)2·(x – 7)·(x + 7) (x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7) Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber (x – 7). O resultado final será: (x + 7)·(x + 7)·(x + 7) Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira: (x + 7)3 Gabarito: Letra C.
Resposta - Questão 3
No numerador, utilizaremos o método de fatoração por agrupamento, que faz uso da fatoração por fator comum em evidência repetidas vezes. Já no denominador, utilizaremos o método de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Escrevendo a razão proposta, obteremos: ax + 2a + 5x + 10 a(x + 2) + 5(x + 2) (a + 5)(x + 2) Agora vamos dividir os termos idênticos presentes na expressão algébrica acima: x + 2 Gabarito: Letra E.
Resposta - Questão 4
Para resolver essa questão, devemos escrever a razão entre os polinômios: x3 – 8y3 Agora utilize o método de fatoração da diferença entre dois cubos no numerador e do trinômio quadrado perfeito no denominador. (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) Escrevendo o denominador em forma de produto teremos: (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) Agora basta “cortar” os fatores idênticos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador: (x2 + 2xy + 4y2) Gabarito: Letra B. Versão desktop Copyright © 2022 Rede Omnia - Todos os direitos reservados Proibida a reprodução total ou parcial sem prévia autorização (Inciso I do Artigo 29 Lei 9.610/98)
Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios: Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum. Na prática, vamos fazer os seguintes passos: 1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos. 2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência). 3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base. Exemplos a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z? Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses: 12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z) b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4. Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses. A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão. Dividimos cada termo do polinômio por a2: 2a2 b : a2 = 2a2 - 2 b = 2b 3a3c : a2 = 3a3 - 2 c = 3ac a4 : a2 = a2 Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses: 2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2) AgrupamentoNo polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência. Exemplo Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y. Colocando esses fatores em evidência: x (m + 3n) + y (m + 3n) Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos. Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio: mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y) Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômios são polinômios com 3 termos. Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2. Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos) Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte: 1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado. 2º) Multiplicar os valores encontrados por 2. 3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito. Exemplos a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9 Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito. √x2 = x e √9 = 3 Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito. Assim, a fatoração será: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2 Testando se é trinômio quadrado perfeito: √x2 = x e √9y2 = 3y Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy). Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração. Diferença de Dois QuadradosPara fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será: a2 - b2 = (a + b) . (a - b) Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores. Exemplo Fatorar o binômio 9x2 - 25. Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos: √9x2 = 3x e √25 = 5 Escrever esses valores como produto da soma pela diferença: 9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5) Cubo PerfeitoOs polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3. Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito. Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas. Exemplos a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8 Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ x3 = x e 3√ 8 = 2 Depois, confirmar se é cubo perfeito: 3 . x2 . 2 = 6x2 3 . x . 22 = 12x Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito. Assim, a fatoração será: x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 b) Fatorar o polinômio a3 - 9a2 + 27a - 27 Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3 Depois confirmar se é cubo perfeito: 3 . a2 . (- 3) = - 9a2 3 . a . (- 3)2 = 27a Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito. Assim, a fatoração será: a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3 Leia também:
Exercícios ResolvidosFatore os seguintes polinômios: a) 33x + 22y – 55z b) 6nx – 6ny c) 4x – 8c + mx – 2mc d) 49 – a2 e) 9a2 + 12a + 4 a) 11. (3x + 2y – 5z) b) 6n . (x – y) c) (x – 2c) . (4 + m) d) (7 + a) . (7 – a) e) (3a + 2)2 Veja também: |
Exercicios de fatoração 8 ano
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