O gráfico da função f(x) = ax + b está representado na figura. qual o valor de a-b

Uma função é considerada do segundo grau quando pode ser escrita na forma a seguir:

f(x) = ax2 + bx + c

Em que a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes, e o coeficiente a sempre deve ser diferente de zero.

Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Algumas das características dessa figura estão relacionadas aos valores dos coeficientes da função que ela representa, conforme veremos a seguir.

Coeficiente A e a concavidade da parábola

O coeficiente a, número real que multiplica x2, pode ser usado para indicar a concavidade da parábola da seguinte maneira:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

A melhor maneira de saber o que é a concavidade é observar um exemplo. Na figura a seguir, por exemplo, a concavidade da parábola à esquerda é voltada para cima, e a concavidade da figura à direita é voltada para baixo.

Portanto, na parábola à esquerda, a > 0; e, na parábola à direita, a < 0.

Além disso, o coeficiente a também é responsável pela “abertura” da parábola. Para perceber isso, considere dois pontos A e B, obtidos pela interseção de uma reta paralela ao eixo x e a parábola. Quanto maior o valor do módulo do coeficiente a, menor será a distância entre os pontos A e B, como mostra o exemplo da seguinte imagem:

Coeficiente C

O coeficiente C, em uma função do segundo grau, está relacionado ao ponto de encontro da parábola com o eixo y. Isso acontece porque qualquer ponto de encontro com o eixo y precisa necessariamente ter a coordenada x = 0. Por outro lado, se quisermos saber o ponto de encontro de uma função com o eixo x, a coordenada y é que deverá ser igual a 0.

Fazendo x igual a zero na forma geral das funções do segundo grau, o seguinte resultado será encontrado:

y = ax2 + bx + c

y = a02 + b0 + c

y = c

Assim, o par ordenado em que acontece o encontro entre parábola e o eixo y é: (0, c). Como os cálculos foram feitos para a forma geral das funções do segundo grau, então esse resultado é válido para todas elas.

Na função y = 2x2 – 4x + 1, por exemplo, o ponto de encontro entre o eixo y e a parábola é (0, 1), conforme mostra a imagem a seguir:

Valor do discriminante e do coeficiente A

O discriminante pode ser usado para encontrar as raízes de uma função e, para isso, basta fazer y = 0 e substituir os coeficientes da função na fórmula a seguir:

∆ = b2 – 4ac

É possível também descobrir quantas raízes reais a função possui apenas pelo resultado do discriminante. Para tanto, basta observar que:

Se ∆ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas.

Se ∆ = 0, a função possui apenas uma raiz real.

Se ∆ < 0, a função não possui raízes reais.

Dessa forma, podemos descobrir muito sobre a função tendo em mãos apenas esses conhecimentos. Como exemplo, note que, na função y = x2 – 4, o valor de ∆ é maior que zero, pois:

∆ = b2 – 4·a·c

∆ = – 4·1·(– 4)

∆ = 16

Nesse caso, o gráfico da função tocará o eixo x duas vezes.

Observe também que o coeficiente c = – 4. Portanto, o gráfico da função tocará o eixo y no ponto (0, – 4). Além disso, a concavidade da parábola dessa função é voltada para cima, assim, seu gráfico deve apresentar-se como na imagem a seguir:

Dessa maneira, com o conhecimento sobre os coeficientes, não é necessário fazer muitos cálculos para esboçar o seu respectivo gráfico. Assim, para que o esboço acima esteja completo, basta descobrir as raízes da função. Caso o coeficiente b seja diferente de zero, talvez seja necessário descobrir as coordenadas do vértice.

A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Exemplo:

f(x) = 2x2 + 3x + 5,

sendo,

a = 2 b = 3

c = 5

Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.

Como resolver uma função quadrática?

Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:

Exemplo

Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:

f (-1) = 8 f (0) = 4

f (2) = 2

Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:

f (-1) = 8
a (-1)2 + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)

f (0) = 4
a . 02 + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)

f (2) = 2
a . 22 + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)

Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.

Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b):

(Equação I)

a - b + 4 = 8 a - b = 4

a = b + 4

Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:

(Equação III)

4a + 2b + 4 = 2 4a + 2b = - 2 4 (b + 4) + 2b = - 2 4b + 16 + 2b = - 2 6b = - 18

b = - 3

Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:

(Equação I)

a - b + c = 8 a - (- 3) + 4 = 8 a = - 3 + 4

a = 1

Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:

a = 1 b = - 3

c = 4

Raízes da Função

As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:

f(x) = ax2 +bx + c = 0

Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:

Exemplo

Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6.

Solução:

Sendo a = 1 b = – 5

c = 6

Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Portanto, as raízes são 2 e 3.

Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.

Assim,

• Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
• Se Δ , a função não terá uma raiz real;
• Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2).

Gráfico da função quadrática

O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos.

A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos:

• Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
• Se Δ
• Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.

Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula:

O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima.

É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja:

Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0.

A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados.

Aprenda O que é função.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por:

a) m > 10 b) m > 25 c) m > 30

d) m e) m

2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 2). O número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertencem ao gráfico dessa função é:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

3. (Cefet-SP) Sabendo que as equações de um sistema são x . y = 50 e x + y = 15, os possíveis valores para x e y são:

a) {(5,15), (10,5)} b) {(10,5), (10,5)} c) {(5,10), (15,5)} d) {(5,10), (5,10)}

e) {(5,10), (10,5)}

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