01 qual a equação geral da reta com coeficiente angular igual a e que passa pelo ponto p 2 5

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Passo a passo para encontrar a equação geral da reta
Equação reduzida da reta
Equação segmentária da reta
Exercícios resolvidos
Qual é a equação reduzida da reta?
Coeficiente linear
Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta
Representação gráfica da reta
Exercícios resolvidos

Gabriel Merces

Há mais de um mês

Sabendo que uma reta é denominada na forma y=mx + b Onde m é o coeficiente angular.Dado o ponto, basta aplicarmos as informações que já temos : P(2,-5) , isso nos informa que quando x=2 , y= -5. -5 = 2(-4/5) + b -5= -8/5 + bb = 8/5-5 = -17/5

Logo, a equação da reta é Y= (-4X-17)/5

Bruno Couto

Há mais de um mês

Então não precisa responder amigo !

Essa pergunta já foi respondida!

A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano. Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero.

Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta.

Leia também: O que é um par ordenado?

Passo a passo para encontrar a equação geral da reta

Representação da reta no plano cartesiano.

Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta.

Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos.

Exemplo de equação geral da reta:

a) – 3x + 4y + 7 = 0

b) x + y – 3 = 0

c) 2x – 5y = 0

Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado.

Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas:

Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos.

Exemplo:

A(2,1) e B(5,7)

1º passo: encontrar o coeficiente angular m.

2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero.

y – yp = m (x – xp)

Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que:

y – 1 = 2 (x – 2)

y – 1 = 2x – 4

y – 2x – 1 + 4 = 0

– 2x + y + 3 = 0 → equação geral da reta r.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?

Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y).

1º passo: montar a matriz.

2º passo: resolver a equação det(M) = 0.

Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero.

Exemplo:

Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta.

A(2,1), B(5,7) e C(x,y)

Primeiro vamos montar a matriz:

Agora calcularemos o seu determinante:

det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0

det(M) = 3y – 5x + 9 = 0

Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y + 9 = 0.

Equação reduzida da reta

Outra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero.

Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y.

Exemplo:

– 5x + 3y + 9 = 0

Vamos isolar o y no primeiro membro:

Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante. Já que o m é conhecido como coeficiente angular, com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela. Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y.

Equação segmentária da reta

Assim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por:

Exemplo:

Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0.

Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro:

-5x + 3y = 9

Agora vamos dividir toda a equação por 9:

Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b.

Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é:

A) y = 2x – 3 B) y = -2x + 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x – 3

E) 2y = 4x – 6

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos isolar o y:

-2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1.

2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida.

y = 2x – 3

Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é:

A) 2x + 2y – 6 = 0 B) x + y – 9 = 0 C) 2x – y + 3 = 0 D) -2x + y + 3 = 0

E) x + 2y – 3 = 0

Resolução

Alternativa D

Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1.

det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0

det(M) = -2x + y + 3 = 0

A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano.

A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y.

Leia também: Elipse — figura muito estudada na geometria plana e na analítica

Qual é a equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta.

No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte:

m → coeficiente angular

n → coeficiente linear

y → variável dependente

x → variável independente

Vale salientar que m e n são números reais.

Exemplos:

a) y = 2x – 4
m = 2 e n = – 4

b) y = – 3x + 5
m = – 3 e n = 5

A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los.

O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:

quando conhecemos a inclinação da reta em relação ao eixo x;
quando conhecemos dois pontos pertencentes à reta.

O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário.

Conhecendo o valor do ângulo α, temos que:

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta a seguir:

Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º.

m = tg 45º

m = 1

Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir:

Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir:

Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que:

O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular.

As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.

Exemplos:

y = 2x – 1 → crescente, pois m = 2.
y = – x + 5 → decrescente, pois m = – 1.
y = 3 → constante, pois m = 0.

Veja também: Qual é a equação geral da circunferência?

Coeficiente linear

Na equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta

Para calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.

1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.
2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.
3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.
4º passo: agora que conhecemos o valor de m e n, bastar substituir na equação reduzida y = mx + n para encontrar a equação da reta.

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7).

Primeiro encontramos o coeficiente angular:

Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3.

y = mx + n
x = 2 y = 1 e m = 3

1 = 3 · 2 + n 1 = 6 + n 1 – 6 = n

n = – 5

Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será:

y = mx + n
m = 3 e n = – 5

y = 3x + ( – 5)
y = 3x – 5

Representação gráfica da reta

Para construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Exemplo:

Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1.

Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1.

Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que:

y = 2x – 1

x = 1

y = 2 ·1 – 1

y = 2 – 1

y = 1

O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?