Retirando uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade de ocorrer um rei ou um valete

ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A B ) para não serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS ? P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS  Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 14.9 Probabilidade Condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer , depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: P (A e B ) = P (A) x P(B/A) Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ? P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P(Copas1) = 13/52 P(Copas2/Copas1) = 12/51 Obs: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 % Espaço amostral do baralho de 52 cartas: Carta pretas = 26 Páus = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Espadas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Cartas vermelhas = 26 Ouros = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) Copas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) EXERCÍCIOS 1- Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas ? 2- Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas ? 3- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b) a probabilidade de essa peça nã ser defeituosa. 4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um REI e a do segundo ser o 5 de paus ? 5- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 nolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 30 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª , 2ª e 3ª urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde ? 6- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus ? 7- Qual a probabilidade de sair uma figura (rei ou dama ou valete) quando retiramos uma carta de um baralho de 52 carta ? 8- São dados dois baralhos de 52 cartas.Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma DAMA e um REI, não necessariamente nessa ordem ? 9- Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS ? 10- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta ? 11- Duas bolas são retiradas (com reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta ? 12- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas e 5 bolas verdes. a)Qual a probabilidade de que ambas sejam verdes ? b) Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor ? 15.10 Técnicas de Contagem em Probabilidade É o uso das fórmulas de análise combinatória para o cálculo do número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Arranjo com repetição: AR n,p AR 9,3 = 9 x 9 x 9 = 729 AR 9,2 = 9 x 9 = 81 Exemplo: Se mil títulos entram em sorteio com os números de 000 a 999. Qual a probabilidade: a - De sair números com a dezena 24 = A10,1 / 1000 = 10 / 1000 = 0,01 ou 1% b - De sair números com a unidade 4 = A10,2 / 1000 = 100 / 1000 = 0,1 ou 10% c - De sair números com a centena 323 = 1 / 1000 = 0,001 ou 0,1% Revisão de Fatorial: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 20 3! x 4! / 5! = 3 x 2 x 1 x 4! / 5 x 4! = 3 x 2 x 1 / 5 = 1,2 Combinação: Cn,r = n! / (n - r)! . r! C15,3 = 15! / (15-3)! . 3! = 15 x 14 x 13 x 12! / 12! x 3! = 15 x 14 x 13 / 3 x 2 x 1 Exemplos: 1- Qual a probabilidade de tirarmos 5 cartas de espadas sem reposição de um baralho de 52 cartas ? Método tradicional: P(5 espadas) = 13/52 . 12/51 . 11/50 . 10/49 . 9/48 = 0,0005... Técnica de contagem: P(5 espadas) = C13,5 / C52,5 = (13.12.11.10.9 / 5.4.3.2.1) / (52.51.50.49.48 / 5.4.3.2.1) = 13.12.11.10.9 / 52.51.50.49.48 = 0,0005... 2- De 20 pessoas que se oferecem para doar sangue 15 possuem sangue tipo B. Qual a probabilidade de, escolhendo-se 3 pessoas desse grupo todas as 3 escolhidas tenham sangue tipo B ? P (3 sangue B) = C15,3 / C20,3 = (15.14.13 / 3.2.1) / (20.19.18 / 3.2.1) = 15.14.13/20.19.18 = 0,399 3- Qual a probabilidade de retirarmos 2 ases em uma amostra de 5 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas ? P (2 ases) = (C4,2 x C48,3) / C52,5 4- Qual a probabilidade de retirarmos 4 ases em uma amostra de 13 cartas retiradas de um baralho de 52 cartas ? P (4 ases) = (C4,4 x C48,9) / C52,13 = C48,9 / C52,13 15.8 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Seja B1, B2, B3...Bk um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral. Seja A outro evento no mesmo espaço amostral, tal que P(A) > 0 . Então: P(A) = P( A B1) + P( A  B2) + P( A  B3) + . . . + P( A  Bk) P(A) = P(B1) . P(A|B1) + P(B2) . P(A|B2) + . . . P(Bk) . P(A|Bk) Então podemos escrever a fórmula da probabilidade total como : P(A) = E P(Bi) . P(A|Bi) 31 Exemplo: Segundo especialistas esportivos, a probabilidade de que o Flamengo vença o próximo jogo é estimada em 0,70 se não chover, e só de 0,50 se chover. Se os registros meteorológicos anunciam uma probabilidade de 0,40 de chover na data do jogo, qual será então a probabilidade desse time ganhar o próximo jogo ? P(A) =  P(Bi) . P(A|Bi) P(ganhar) = P(ganhar n chuva ) + P(ganhar n não chuva ) P(ganhar) = P(chuva) . P(ganhar | chuva) + P(não chuva) . P(ganhar | não chuva) P(ganhar) = (0,40 . 0,50 ) + (0,60 . 0,70) = 0,20 + 0,42 = 0,62 ou 62% 14.11. Teorema de Bayes Sabemos que: P(A) =  P(Bi) . P(A|Bi) P(A  Bi) = P(A) . P(Bi|A) logo P(Bi|A) = P(A  Bi) / P(A) então substituindo teremos : P (Bi|A) = P (Bi) . P (A|Bi) /  P(Bi) . P(A|Bi) que é a fórmula de Bayes Exemplo: Um certo operário, em 4 das 5 vezes vai trabalhar usando o veiculo “A” e usando um veiculo “B” nas demais vezes. Quando ele usa o veiculo “A”, 75 % das vezes ele chega em casa antes das 23 horas e quando usa o veiculo “B” só chega em casa antes das 23 horas em 60% das vezes. Ontem este operário chegou em casa após às 23 horas. Qual a probabilidade de que ele, no dia de ontem, tenha usado o veiculo “A” ? B1 = usar o veiculo “A” B2 = usar veiculo “B” A = chegar em casa após 23 horas P(B1) = 4/5 = 0,80 P(B2) = 1/5 = 0,20 P( A | B1) = 1 - 0,75 = 0,25 P( A | B2) = 1 - 0,60 = 0,40 P (B1 | A) = P (B1) . P( A | B1) / P (B1) . P( A | B1) + P (B2) . P( A | B2) P (B1 | A) = 0,80 x 0,25 /(0,80 x 0,25) + (0,20 x 0,40) = P (B1 | A) = 0,20 / (0,20 + 0,08) = 0,7143 ou 71,43 % Exercício: