2 aplique o teorema de Tales e determine o valor de x sabendo que as retas r set são paralelas

Teorema de Tales afirma que um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Desse modo, se temos duas retas paralelas “cortadas” por duas transversais, os segmentos formados por essa intersecção são proporcionais.

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Representação e fórmula
Teorema de Tales nos triângulos
Exercícios resolvidos

Leia também: Duas retas paralelas cortadas por um transversal

Representação e fórmula

Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas interceptadas por retas transversais.

Observe que as retas r, s e t são paralelas e denotadas por r//s//t, as retas p e q são as transversais, os segmentos AB, BC, DE e EF foram determinados pelas intersecções das retas, e que, pelo teorema de Tales, esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razões entre eles são iguais.

Em consequência das propriedades das proporções, podemos escrever o resultado do teorema de Tales destas maneiras:

Na figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.

Aplicando o teorema de Tales, temos:

Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.

Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales aplicado nos triângulos é mais conhecido por teorema da bissetriz interna. Esse afirma que:

“Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais, em relação a seus lados adjacentes.”

Observe que o segmento AD é a bissetriz do triângulo ABC, visto que ele divide o ângulo BÂC em duas partes iguais. De acordo com o teorema, o segmento de reta AD divide o lado oposto, ou seja, o lado BC, em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes, isto é, os lados AB e AC são proporcionais aos lados BD e DC nessa ordem, e, portanto, podemos escrever:

Considere o triângulo seguinte e determine o valor de x, sabendo que o segmento AD é a bissetriz relativa ao lado BC.

Saiba mais: Intersecção de retas concorrentes

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.

Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

a) 35 m e 56 m

b) 25 m e 40 m

c) 35 m e 70 m

d) 56 m e 70 m

e) 56 m e 84 m

Solução

Observando a imagem, temos que o teorema de Tales pode ser aplicado na planta do bairro. Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, temos:

Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, 35 m e 56 m.

R: alternativa a

Questão 2 – Em um triângulo ABC, o perímetro é 54 cm, BS é a bissetriz, AS = 8 cm, e SC = 10 cm. Determine a medida do lado AB.

Solução

Inicialmente vamos ilustrar o triângulo descrito no problema, nomeando x e y os lados dos quais não conhecemos a medida.

Como foi dado que o perímetro do triângulo ABC é 54 cm, temos que a soma de todos os lados é igual a 54 cm.

x + y + 18 = 54

x + y = 54 -18

x + y = 36

Por outro lado, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna no triângulo ABC, tendo que:

Isolando o valor de x na primeira equação, temos que x = 36 – y, e substituindo esse valor na segunda equação, temos que:

10x = 8y

10 · (36 – y) = 8y

360 – 10y = 8y

360 = 8y + 10y

18y = 360

y = 20

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações, temos:

x = 36 – y

x = 36 – 20

x = 16

Portanto, o lado AB mede 16 cm.

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Aplicações do Teorema de Tales e veja a resolução comentada.

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Sabendo que as retas a, b e c são paralelas, utilize o Teorema de Tales e determine o valor de x na figura a seguir:

Na figura a seguir temos que a // b // c // d. Aplicando o Teorema de Tales determine os valores de x, z e y.

Aplique o Teorema de Tales no intuito de determinar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas.

(Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?

(Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?

(Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?

Pelo Teorema de Tales temos que:

. Aplicando a propriedade das proporções, na igualdade entre as razões, determinaremos o valor de x, veja:

Como o valor de x'' = - 1,5 não é interessante para nós, o único valor possível de x que satisfaz a proporção é x' = 6.

Pelo Teorema de Tales temos que:

Solução: x = 6, z = 6 e y = 8.

De acordo com o Teorema de Tales temos:

O valor de x de acordo com o Teorema de Tales é 7,5.

Lote I: 80 metros Lote II: 60 metros

Lote III: 40 metros

Aplicando o Teorema de Tales temos a seguinte situação:

O muro do terreno II que faz frente com a Rua das Rosas deverá ter 32 metros de comprimento.

De acordo com o Teorema de Tales: x = 1
12 0,6