Algum elemento do conjunto A tem mais de um correspondente no conjunto B se sim, qual

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. De acordo com essa definição, as funções necessariamente devem relacionar todos os elementos do primeiro conjunto, mas nem todos os elementos do segundo conjunto serão “usados”. São nesses dois conjuntos que podemos encontrar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função.

Algebricamente, uma função é definida da seguinte maneira:

f: A → B
                                                                         y = f(x)

Em que f é a letra escolhida para representar a função, e y = f(x) é a regra da função.

O símbolo A → B quer dizer que os elementos do conjunto A serão avaliados na regra f(x) e terão como resultado um elemento do conjunto B. A letra x, em uma função, representa um elemento qualquer do conjunto A, por isso, é chamada de variável: pode assumir qualquer valor, desde que esse valor seja um dos elementos de A.

Além disso, x também é variável independente, pois é essa variável que determina qual elemento do conjunto B será relacionado ao elemento do conjunto A por meio da regra y = f(x).

A variável y é dependente da variável x, por essa razão, é nomeada como variável dependente. Em resumo, a variável x representa um elemento qualquer do conjunto A, e a variável y refere-se a um elemento qualquer do conjunto B.

O que é domínio, contradomínio e imagem?

Dada a função y = f(x) que relaciona os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B, podemos definir:

1 – O conjunto A é conhecido como domínio. Esse nome é escolhido para esse conjunto devido ao papel dos seus elementos na função. Lembre-se de que o conjunto A é que determina a variável independente. Portanto, os elementos do conjunto A possuem o “domínio” sobre os resultados da função, uma vez que os resultados de y obtidos dependem do valor x escolhido.

Exemplo – dada a função:

f: N → Z

y = 2x

O conjunto dos números naturais é o domínio, portanto, os números que poderão ser relacionados estão no conjunto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

2 – O conjunto B é conhecido como contradomínio. Esse nome é escolhido pelo fato de que nem todos os elementos do conjunto B precisam ser usados para que a função seja válida. Além disso, esse nome remete à dependência que existe entre os conjuntos A e B.

O contradomínio é o conjunto em que encontraremos todos os números que podem ser relacionados aos elementos do domínio por meio da função f. Tomando novamente o exemplo anterior:

f: N → Z

y = 2x

O contradomínio é o conjunto formado por todos os números inteiros. Note que alguns números inteiros nunca poderão ser resultados de uma multiplicação de um número natural por 2, como o número 7. Assim, embora o número 7 pertença ao contradomínio, ele não pode ser relacionado a nenhum número no domínio.

3 – O subconjunto do contradomínio, formado por todos os seus elementos que se relacionam a algum elemento do domínio, é denominado de imagem.

Assim, na função anterior:

f: N → Z

y = 2x

Embora o conjunto de todos os números inteiros seja o contradomínio dessa função, apenas os números pares serão resultados de algum elemento do domínio aplicado na regra da função. Portanto, o conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números pares.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Podemos fazer algumas relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de um conjunto. Essas relações possuem características específicas e representações próprias. Vamos caracterizar cada uma delas.

• Igualdade de conjuntos

Quando comparamos A e B e eles não são iguais dizemos que são diferentes representados assim A ≠ B.

• Relação de inclusão

Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles não são diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos estão dentro do conjunto A.

Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, nesses dois conjuntos não é possível aplicar a relação de inclusão, então dizemos que C

• Relação de Pertinência

Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que - 4 A ( - 4 pertence a A) e que 5 A ( 5 não pertence a A)

O domínio, o contradomínio e a imagem de uma função são conjuntos importantes para definirmos o que é função e compreendermos melhor o seu comportamento. Uma função é uma relação entre dois conjuntos domínio e contradomínio em que, para cada elemento do domínio, existirá um único correspondente no contradomínio, esse correspondente é conhecido como imagem.

Por exemplo, se a função pega elementos do domínio e relaciona-os com o dobro deles no contradomínio, 2 estará relacionado com 4, logo, a imagem da função para 2 é igual a 4. Ao juntarmos todas as imagens, formamos o conjunto das imagens, que são todos os elementos do contradomínio correspondentes a algum elemento do domínio.

Leia também: Plano cartesiano – plano em que as funções são representadas graficamente

Função

Para entender o que são domínio, contradomínio e imagem, precisamos definir o que é função.

Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B, em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. Perceba que na função os valores do conjunto A, conhecido como domínio, são relacionados aos seus correspondentes no conjunto B, conhecido como contradomínio, dependendo do comportamento dessa função, o que conhecemos como lei de formação.

Exemplos:

Trata-se de uma função, pois satisfaz a definição, todo elemento de A possui um único correspondente em B.

Não se trata de uma função, pois há elementos no domínio que não possuem correspondente em B, o que contradiz a definição.

Também não é uma função, pois há elementos do conjunto A que possuem dois correspondentes no conjunto B, o que contradiz a definição.

É uma função, pois, satisfaz a definição, perceba que todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente no conjunto B.

Note que existe um elemento do conjunto B que não é correspondente a nenhum elemento em A, e também um elemento em B que é correspondente a dois elementos de A, o que pode induzir a pensar que essa relação não é uma função, mas as restrições são válidas para o conjunto A, pois todo elemento do conjunto A deve possuir um único correspondente no conjunto B, então se existir um elemento do conjunto B que é correspondente de dois elementos no conjunto A, ou se esse elemento não for correspondente a nenhum elemento do conjunto A ainda sim a relação pode ser uma função.

Dada uma função qualquer, o domínio é formado pelos valores que o x pode assumir. Na maioria das vezes, trabalhamos a função que vai de R em R, ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais e o contradomínio também, entretanto, pode ser que haja algumas restrições para o domínio.

Exemplo 1:

Vamos começar com um exemplo mais simples, essa função f(x) = 2x f: A → B, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Nesse caso o domínio da função D(f): {1, 2, 3, 4, 5}.

Agora, analisando a lei de formação e pensando em uma função R → R, eliminaremos as possíveis restrições do domínio, por exemplo, se a função possuir a lei de formação:

Note que o x não pode ser igual a 0, já que isso causaria uma indeterminação, pois não é possível dividir 1 por 0. Nesse caso o domínio da minha função não pode ser 0, então o D(f) = R* (conjunto dos números reais não nulos).

Outro exemplo bastante comum são funções com radical. Quando trabalhamos com raiz quadrada, os valores que estão dentro da raiz não podem ser negativos, pois estamos trabalhando com números reais, e, no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada para números negativos, o que justifica a criação posteriormente do conjunto dos números complexos. Vamos analisar um exemplo de função com radical e determinar seu domínio.

Exemplo 2:

Note que, nesse caso, x – 10 precisa ser maior ou igual a zero já que não existe raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais:

Veja também: Determinando o domínio de uma função

Contradomínio

Como vimos, o contradomínio de uma função f: A → B é o conjunto B. O contradomínio que mais trabalhamos é o conjunto dos números reais. É importante lembrarmo-nos de que no domínio todo elemento tem que ter necessariamente um correspondente no contradomínio, porém não há uma restrição para o contradomínio, logo, o conjunto pode ter elementos que não sejam correspondentes de ninguém no domínio, um exemplo seria a função f(x) = x² com f: R → R.

Note que por mais que nessa função a imagem nunca seja negativa, ou seja, para todo valor de x, x² é sempre um número positivo, ainda sim o contradomínio pode ser os números reais. Ter um resultado sempre positivo faz com que a imagem seja sempre um número positivo, o que não altera o contradomínio.

Imagem

O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio.

Exemplo 1:

Encontre a imagem da função f(x) = x² f: R → R:

f(1) = 1² = 1, a imagem da função quando x é igual a 1 é 1.

f(2) = 2² = 4, a imagem da função quando x é igual a 2 é 4.

Analisando a função de forma geral, para encontrarmos o conjunto imagem, sabemos que x² com x pertencente ao real sempre será um número positivo, logo, o conjunto imagem será:

Im(f) = R+ (conjunto dos números reais positivos).

Exemplo 2:

Seja f = 2x – 1 f: A → B em que A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, qual será o conjunto imagem?

Nesse caso, o conjunto imagem será formado pela imagem de cada um dos elementos do conjunto A.

f(0) = 2 · 0 – 1 = 0 – 1 = -1

f(1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1

f(2) = 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5

É necessário que todos esses elementos estejam no conjunto B, caso contrário, f: A → B não seria uma função. Como todos os elementos pertencem ao conjunto B, o conjunto imagem da função será:

Im(f) = {-1, 1, 3, 5}

Leia mais: Funções injetoras – elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Dada a função f(x) = -x² f: R → R, podemos afirmar que o conjunto imagem dessa função é:

a) todos os números reais

b) todos os números reais iguais a zero ou positivos

c) todos os números reais não nulos

d) todos os números reais iguais a zero ou negativos

e) todos os números inteiros

Resolução

Alternativa D

Sabemos que todo número elevado a 2 é positivo. Como há o sinal de – antes de x², para todo valor de x, a resposta será sempre um número negativo ou igual a zero, por exemplo:

f(1) = -1² = -1

f(-2) = - (-2)² = -4

f(0) = 0

Então Im(f) = R, conjunto dos números reais não positivos, ou seja, negativos ou nulos.

Questão 2 - Uma função é conhecida como sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio. Analisando as funções a seguir, podemos afirmar que:

A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3}

I) f : A → B, f(x) = x + 1 com A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3}

II) g: B → A, g(x) = x com A = {-1, 0, 1} e B = {-1, 0, 1}

a) Somente I é sobrejetora.

b) Somente II é sobrejetora.

c) Nenhuma é sobrejetora.

d) Ambas são sobrejetoras.

Resolução:

Alternativa D

I) Sabendo que A = {-1, 0, 1, 2}, calcularemos f(-1), f(0), f(1) e f(2).

f(-1) = -1 + 1 = 0

f(0) = 0 + 1 = 1

f(1) = 1 + 1 = 2

f(2) = 2 + 1 = 3

Logo, Im(f) = {0, 1, 2, 3}, que é igual ao contradomínio CD, então a função I é sobrejetora.

II) Sabendo que A = {-1, 0, 1}, calcularemos g(-1), g(0) e g(1).

g(-1) = -1

g(0) = 0

g(1) = 1

Im(g) = {-1, 0, 1} = CD (g), então II é sobrejetora.