Para o aluno calcular raiz quadrada de número racional, cuja raiz não é exata, existe várias técnicas das quais irei abordar algumas e tentar mostrar para o aluno aquelas mais segura, já que todas elas dar como resultado um número aproximado, ou para mais ou para menos. Uma outra maneira mais prática e mais rápida seria através do uso da calculadora. Show Nessa técnica o aluno vai usar a técnica de tentativa baseado naquilo que ele já aprendeu. Exemplos: a)Qual a raiz quadrada de 10?A primeira coisa é procura um número aproximado de 10 que tenha raiz exata. Nesse caso 9 tem raiz exata. A raiz de 9 é 3. Sabemos que 3 elevado ao quadrado é 9. Portanto, 3 não é a resposta. Depois 3 colocamos uma vírgula e acrescentamos números, e fazemos o cálculo para verificar a resposta. Observe abaixo: (3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61 (3,2)2 = 3,2 . 3,2 = 10,24 3,1 é o valor aproximado se a questão pede apenas com uma casa decimal essa seria a resposta. Caso a questão peça com duas, três ou mais casas decimais, iremos continuar tentando. (3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61 (3,11)2 = 3,11 . 3,11 = 9,6721 (3,12)2 = 3,12 . 3,12 = 9,7344 (3,13)2 = 3,13 . 3,13 = 9,7969 (3,14)2 = 3,14 . 3,14 = 9,8596 (3,15)2 = 3,15 . 3,15 = 9,9225 (3,16)2 = 3,16 . 3,16 = 9,9856 ( observe que foram preciso seis tentativas)
(3,17)2
= 3,17 . 3,17 = 10,0489 ( passou não serve). b)Qual a raiz quadrada de 150?
A primeira coisa é procura um número aproximado de 150 que tenha raiz exata. Nesse caso 144 tem raiz exata. A raiz de 144 é 12. Depois do 12 colocamos uma vírgula e vamos acrescentado alguns valores. (12)2 = 12 . 12 = 144 (12,1)2 = 12,1 . 12,1 = 146,41 (12,2)2 = 12,2 . 12,2 = 148,84 (com uma casa decimal) (12,3)2 = 12,3 . 12,3 = 151,29 Continuando os cálculos duas casas decimais: (12,21)2 = 12,21 . 12,21 = 149,0841 (12,22)2 = 12,22 . 12,22 = 149,3284 (12,23)2 = 12,23 . 12,23 = 149,5729 (12,24)2 = 12,24 . 12,24 = 149,8176 (Resposta com duas casas decimais) (12,25)2 = 12,25 . 12,25 = 150,0625 2ª técnica por comparação:
Nesta técnica vamos comparar dois números que tem raiz exata um abaixo do número dado, isto é, 19 e outa acima deste número.
Exemplos:
(4,1)2 = 4,1 . 4,1 = 16,81 (4,2)2 = 4,2 . 4,2 = 17,64 (4,3)2 = 4,3 . 4,3 = 18,49 (com uma casa decimal)
(4,4)2
= 4,4 . 4,4 = 19,36 ( não serve, passou) Com duas casas decimais (4,3)2 = 4,3 . 4,3 = 18,49 (4,31)2 = 4,31 . 4,31 = 18,5761 (4,32)2 = 4,32 . 4,32 = 18,6624 (4,33)2 = 4,33 . 4,33 = 18,7489 (4,34)2 = 4,34 . 4,34 = 18,8356 (4,35)2 = 4,35 . 4,35 = 18,9225 (4,36)2 = 4,36 . 4,36 = 19,0096Em que consiste esse método? Consiste em o aluno encontrar dois números que multiplicados entre si seja igual ao número estudado. Porém, esse método só calcula a raiz aproximada com uma casa decimal, e o aluno terá mais probabilidade de errar. Exemplos: a) Qual a raiz quadrada de 12. Usando o método de Harão 12 = 1 . 12 12 = 2 . 6 12 = 3 . 4 Veja que nesse caso qualquer um podia ser a raiz de 12, baseado nesse método. Quando você soma os resultado encontrados e divide por 2 veja no que dar: 1 + 12 = 13 e divide por 2 vai dar 6,5 ( não serve) 2 + 6 = 8 dividindo por 2 é 4 ( não serve) 3 + 4 = 7 dividindo por 2 é 3,5 Valor aproximado. Usando uma calculadora verificamos que a resposta seria 3,4 com uma casa decimal. Esta errado essa resposta? Não esta errado, porque a próxima casa decimal é 6, sendo assim podemos arredonda para cima. b) Qual raiz quadrada de 72? 72 = 1 . 72 72 = 2 . 36 72 = 3 . 24 72 = 4 . 18 72 = 6 . 1272 = 8 . 9 Veja que qualquer um nesse poder ser a raiz de 72. Destas tentativas apenas o último vai ser a resposta. Porém, esse método não serve para calcular raiz quadrada de qualquer número. Vejamos o exemplo. Qual a raiz aproximada de 10? 10 = 1 . 10 10 = 2 . 5 1 + 10 = 11 (11 dividido por 2 igual a 5,5) 2 + 5 = 7 (7 dividido por 2 é igual a 3,5) E na verdade sabemos que a raiz aproximada de 10 é 3,1 Page 2
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado. O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los? Tentativa e erroAlgumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo: Qual a raiz quadrada de v196? Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo: 11 * 11 = 121 12 * 12 = 144 13 * 13 = 169 14 * 14 = 196 É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros. Cálculo por fatoraçãoA fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração: Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja: Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja: Veja outro exemplo com v1225: Desmembrando o número temos: Raiz quadrada não exataQuando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo: 7,1 * 7,1 = 50,41 7,2 * 7,2 = 51,84 7,3 * 7,3 = 53,29 7,4 * 7,4 = 54,76 O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54. Veja outro exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas: 14,1 * 14,1 = 198,81 14,2 * 14,2 = 201,64 14,3 * 14,3 = 204,49 14,4 * 14,4 = 207,36 14,5 * 14,5 = 210,25 14,6 * 14,6 = 213,16 14,7 * 14,7 = 216,09 14,8 * 14,8 = 219,04 Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja: 14,71 * 14,71 = 216,38 14,72 * 14, 72 = 216,67 14,73 * 14,73 = 216,97 14,74 * 14,74 = 217,26 14,75 * 14,75 = 217,56 14,76 * 14,76 = 217,85 14,77 * 14,77 = 218,15 Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76. O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular. Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões: Como calcular probabilidades? Como calcular porcentagem de forma fácil? Como calcular seno, cosseno e tangente? Conheça o Coach COC e organize seus estudos!O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo! |