Como determinar a raiz de um quadrado perfeito

Este plano de aula inclui os objetivos, os pré-requisitos e as exclusões à aula que ensina os alunos como determinar raízes quadradas de quadrados perfeitos inteiros, fracionários ou decimais.

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Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação
Observações:
Mapa Mental: Raiz Quadrada
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Exercícios resolvidos

Os alunos serão capazes de

compreender que aplicar a raiz quadrada a um número é realizar a operação inversa de realizar o quadrado de um número;
compreender que o símbolo raiz quadrada simboliza a raiz quadrada positiva de um número;
determinar a raiz quadrada de um quadrado perfeito;
determinar a raiz quadrada de uma fração em que o numerador e o denominador são quadrados perfeitos;
determinar a raiz quadrada de um número decimal que é um múltiplo de 100 e menor do que um quadrado perfeito;
determinar a raiz quadrada de termos algébricos ao quadrado;
determinar comprimentos aplicando a raiz quadrada de quadrados perfeitos;
resolver problemas contextualizados por aplicação da raiz quadrada.

Os alunos já devem estar familiarizados com

potências e expoentes;
quadrados perfeitos.

Os alunos não abordarão

raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos;
potências de números fracionários;
resolver equações por aplicação da raiz quadrada.

Existem alguns padrões na Matemática que nos despertam a curiosidade e podem estar relacionados com alguma sequência numérica. Quando vemos números enfileirados, logo nos questionamos sobre o seu padrão de formação. Veja os números a seguir:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …

Qual deve ser a lógica dessa sequência? A resposta está no número quadrado perfeito. Entenda que um número será quadrado perfeito quando ele for um número inteiro e o seu quadrado gerar outro número inteiro positivo. Veja:

12 = 1 . 1 = 1
22 = 2. 2 = 4
32 = 3 . 3 = 9
42 = 4 . 4 = 16
52 = 5 . 5 = 25
62 = 6 . 6 = 36
72 = 7 . 7 = 49
82 = 8 . 8 = 64
92 = 9 . 9 = 81
102 = 10 . 10 = 100 . .

Após observar esses cálculos, é possível determinar um padrão de formação, que é dado por:

n2 = n . n = a
n2 = a

(n2) é o número inteiro positivo;
(n . n) é o produto de termos numéricos idênticos, que são positivos;
(a) é o número quadrado perfeito.

Exitem algumas regras práticas que ajudam a identificar os números que são quadrados perfeitos.

Primeira Regra: Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata.

Exemplos:

Veja o cálculo da raiz quadrada dos números a seguir:

Segunda Regra: Quando o número é quadrado perfeito, ele não possui como último algarismo os seguintes números: 2, 3, 7 e 8.

Terceira Regra: Todo número quadrado perfeito que for par possuirá raiz quadrada par. Lembre-se de que um número é considerado par quando for dividido por dois e resultar em um número inteiro.

Exemplos:

Verifique se os números 4, 9 e 16 são pares e calcule a raiz quadrada deles:

4 : 2 = 2 → Temos que 4 é um número par; 9 : 2 = 4,5 → O número 9 não é par;

16 : 2 = 8 → O número quadrado perfeito 16 é par.

Quarta Regra: Um número par será quadrado perfeito se, ao ser dividido por 4, resultar em um número inteiro.

Quinta Regra: Todo número quadrado perfeito que é ímpar possui raiz quadrada ímpar. Um número será ímpar quando ele for dividido por dois e resultar em um número que não é inteiro, ou seja, um número decimal.

Exemplos

Considere os números 100 e 121. Verifique qual é ímpar e calcule a sua raiz quadrada.

100 : 2 = 50 → 100 é par;
121 : 2 = 60,5 → 121 é ímpar.

A raiz quadrada de 121 é 11. Sendo assim, a quinta regra é valida, pois número quadrado perfeito ímpar possui raiz quadrada ímpar.

Sexta Regra: Ao dividir um número quadrado perfeito ímpar por oito, o resto sempre será o número 1.

Exemplos:

Verifique se os números 9 e 25 deixam resto 1 ao serem divididos por 8:

9 | 8 8 1

25 | 8 24 3

Observando as divisões acima, verificamos que a sexta regra é valida para os números que são ímpares e quadrados perfeitos.

Por Naysa Oliveira

Graduada em Matemática

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

a = radicando
n = índice
√ = radical

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112 = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Raiz quadrada de um número qualquer, representado por x.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.