ACESSE LINKS EXPLICATIVOS EM TODO O TEXTO ESCRITO EM AZUL. ->Dúvidas Frequentes -> Continuaremos com o estudo dos limites das funções que envolvem quocientes de polinômios em uma indeterminação do tipo , porém com o “agravante” da raiz quadrada. A resolução deste tipo de limite envolve a multiplicação pelo o que chamaremos de conjugado. Exemplo_2.2 - a) Verifique o comportamento da comSimbolicamente, calcule: Temos uma indeterminação do tipo , poisPara resolver o "problema" buscaremos uma função equivalente através da multiplicação pelo conjugado do numerador. O numerador pode ser visualizado como: , sendo e .O conjugado de a-b é a+b, e vice-versa. Neste caso: tem como conjugado:Quando multiplicamos: , temos uma diferença de dois quadrados. A multiplicação pelo conjugado tem como objetivo a “eliminação” da raiz quadrada que é o agravante inicial neste problema. Multiplicando e dividindo a função inicial pelo conjugado do numerador, temos: Observação: devemos multiplicar e dividir pelo conjugado para não alterarmos a expressão! A princípio este função equivalente é mais assustadora que a original, porém, como veremos, a indeterminação inicial que envolvia a raiz quadrada não aparece nesta função. , neste passo a raiz quadrada do numerador foi “eliminada” visto que: , fazendo a multiplicação por -1 : Vale notar que, com a multiplicação e divisão pelo conjugado, inserimos uma raiz quadrada no denominador. Porém, esta raiz, que é parte do conjugado, não é um problema porque se o conjugado .Apesar da eliminação da raiz quadrada do numerador ainda temos uma indeterminação .Porém o problema não envolve mais a raiz quadrada e sim o quociente descrito em verde: o que nos leva a um problema do tipo estudado no capitulo anterior. Fazendo a fatoração algébrica do numerador. ficamos com: , simplificando: Concluímos que: Visualize o resultado abaixo. Fig_2-2-a – Gráfico da função .b) Verifique o comportamento da função comSimbolicamente, calcule: Temos uma indeterminação do tipo , poisO denominador pode ser visualizado como:
, sendo e .Neste caso: tem como conjugado:Multiplicando e dividindo pelo conjugado: Notem que ainda temos indeterminação no quociente em verde:, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde: , o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1. Observe: Ficamos com: Concluimos que: Visualize o resultado abaixo. Fig_2-2-b – Gráfico da função .c) Verifique o comportamento da função comSimbolicamente, calcule: Temos uma indeterminação do tipo , poisNeste caso temos um “problema duplo”, devemos utilizar o método do conjugado para “eliminar” a raiz quadrada do denominador e a do numerador. Inicialmente multiplicamos e dividimos pelo conjugado do numerador: , sendo e .Neste caso: tem como conjugado: .Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador: Notem que ainda temos indeterminação no quociente em verde:O conjugado do denominador: , sendo e .Neste caso: tem como conjugado:Multiplicando e dividindo pelo conjugado do denominador: Notem que ainda temos indeterminação no quociente em verde:, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde: , o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1. Concluimos que: Visualize o resultado abaixo. Fig_2-2-c – Gráfico da função .d) Verifique o comportamento da função comSimbolicamente, calcule: Temos uma indeterminação do tipo , poisPara identificarmos o conjugado do numerador, inicialmente, reescreveremos o numerador como: Reescrevendo o limite original: Neste formato fica evidente que: sendo: e .Neste caso: tem comoconjugado: .Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador: , observe que: que é uma diferença ao quadrado : , portanto: Notem que ainda temos indeterminação no quociente em verde:, usando a fatoração algébrica no numerador e no denominador em verde: Concluimos que: Visualize o resultado abaixo. Fig_2-2-d – Gráfico da função . |