Como somar raiz quadrada com equação de segundo grau

Provavelmente, você já tenha aprendido como resolver uma equação do segundo grau. Não se trata de meramente isolar a incógnita e calcular o seu valor: uma equação do segundo grau é um pouco mais complexa, pois ela conta com três membros, dos quais uma incógnita é elevada ao quadrado.

Como é sabido, a operação inversa da exponenciação é a raiz quadrada. Não basta somente calcular a raiz quadrada; como existem outros membros na equação, é necessária a aplicação de uma fórmula para resolvê-la. Ainda assim, o resultado não é exato, como numa equação do primeiro grau. Trata-se de duas raízes, ou seja, duas possibilidades de resultados.

Essas raízes de uma equação do segundo grau, dependem do valor do discriminante, mais conhecido como delta. Quem não se lembra que o delta é o resultado do termo b elevado ao quadrado menos quatro vezes o termo a e vezes o termo c. Dessa forma, a influência do resultado do delta nas raízes finais da equação é inegável. A fórmula geral de uma equação do segundo grau é –b /- a raiz quadrada do resultado de delta, pega-se esse resultado e divide-se pelo dobro do termo a da equação. É assim que é possível encontrar as raízes da equação.

Afinal, qual a influência do resultado de delta nas raízes?

A fórmula para cálculo do valor de delta é chamada fórmula de Bháskara, e foi descoberta no século XII por um matemático homônimo. A partir daí, ela tornou-se essencial para resolver quaisquer problemas matemáticos que tenham relação com equações quadráticas (mais conhecidas como equações do segundo grau). Dessa forma, pode ser usada tanto em matemática quanto em física.

Mas, voltando ao assunto dos determinantes, lembra que lá no início do texto falamos que ele tem influência sobre os resultados finais da equação? Pois bem, dessa forma, se o delta obtiver um resultado maior que zero, a equação terá como resultado duas raízes em números reais e diferentes entre si. Se o resultado de delta for menor que zero, a equação não possuirá raízes. Porém, caso o delta seja igual a zero, a equação apresentará somente uma raiz real. Portanto, a partir do resultado da aplicação da fórmula de Bháskara será possível ter ideia a respeito de quantas raízes terá a equação.

Portanto, é importante checar o resultado da fórmula de Bháskara para certificar-se de que a mesma foi aplicada corretamente. A partir daí caso apareça algo nos resultados, diferente do que enumeramos acima, é provável que algo esteja errado com os cálculos e recomendamos que você confira novamente a equação. Uma equação com resultado de delta igual a zero, por exemplo, não poderá jamais ter duas raízes. Se por acaso você obtiver duas raízes como resultado de uma equação cujo delta é igual a zero, é bem provável que algo tenha saído errado. Se for em um trabalho ou prova, principalmente, confira ou se for o caso até refaça o exercício, pois é certo que o resultado está incorreto e você perderá os pontos equivalentes ao exercício.

Quais as relações entre as raízes da equação do segundo grau então?

Se você já fez o exercício e chegou a conclusão que o mesmo está correto, pode ser que surja uma nova pergunta em seu teste. Esse novo cálculo estaria ligado às relações existentes entre as duas raízes resultantes do seu cálculo da equação. Normalmente, o que se pede é que seja estabelecida a relação entre a soma e o produto das raízes da equação. Para chegar a esse resultado, você precisará aplicar as raízes a uma fórmula pré-determinada. Ou seja, caso as suas raízes estejam erradas, com certeza este exercício representa mais um ponto que você perderá.

As fórmulas consistem no seguinte:

Soma: (-)b/a. Dividir o termo b pelo termo a da equação e aplicar um sinal negativo ao resultado. Caso isso não bata com a soma das raízes, já sabe. Será necessário voltar no exercício para conferi-las.

Produto: c/a. Dividir o termo c pelo termo a da equação. O resultado dessa conta deverá ser o produto das raízes da equação. Mais uma vez, caso o resultado esteja divergente, vale a pena conferir os cálculos já realizados.

Outra situação que pode ocorrer, é o questionamento quanto às relações entre essas raízes, antes mesmo do cálculo das mesmas. Neste caso, basta aplicar essas pequenas fórmulas e adiantar o resultado. Caso você tenha tempo ao final do teste, você pode tentar resolver a equação e encontrar as raízes, mas caso você termine e o tempo esteja esgotado, não será necessário perder tempo com resoluções: bastará aplicar essas fórmulas e você chegará ao resultado destas relações existentes entre as raízes da equação do segundo grau.

De qualquer forma, ao final de um exercício que envolva cálculos, é importante fazer uma revisão para certificar-se de que estão corretos.

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros. Onde S é a soma e P o produto.

Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:

Sendo,

x1 e x2: raízes da equação do 2º grau
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau

Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.

Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.

Como encontrar esses números?

Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a . Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.

Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.

Para tal, teremos as seguintes situações:

• P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
• P > 0 e S
• P 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.
• P

Exemplos

a) Encontre as raízes da equação x2 - 7x + 12 = 0

Os coeficientes são: a = 1 b = -7

c = 12

Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12.
Sabemos que:

• 1 . 12 = 12
• 2 . 6 = 12
• 3 . 4 = 12

Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7.
Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7

b) Encontre as raízes da equação x2 + 11x + 24

Os coeficientes são: a = 1 b = 11

c = 24

Procurando o produto igual a 24, temos:

• 1 . 24 = 24
• 2 . 12 = 24
• 3 . 8 = 24
• 4 . 6 = 24

Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.

c) Quais são as raízes da equação 3x2 - 21x - 24 = 0?

Os coeficientes são: a = 3 b = -21

c = -24

O produto poderá ser:

Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.

Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7

d) Encontre as raízes da equação x2 + 3x + 5

Os coeficientes são: a = 1 b = 3

c = 5

O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.

Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆

O valor do produto das raízes da equação 4x2 + 8x - 12 = 0 é:

a) - 12 b) 8 c) 2 d) - 3

e) não existe

Exercício 2

A equação x2 - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a:

a) - 6 e - 5 b) - 1 e - 30 c) 6 e - 5 d) 30 e 1

e) - 6 e 5

3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x2 + px + q = 0, então o valor de p + q é :

a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1

e) 2

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: b) -1.

Resolução

Os coeficientes são: a = 1 b = p

c = q

As raízes são 1 e 5.

Passo 1: determinar p e q

Usando as relações do método soma e produto temos:

Do produto:

Da soma:

Passo 2: somar p + q

p + q = -6 + 5 = -1

Portanto, a resposta é a opção b) -1

Pratique mais exercícios sobre equações do 2° grau.

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.